14-mavzu: Optimallashtirish masalasining qo‘yilishi

4.2.Avtomatik boshqarish sistemalarning optimallik mezoni

Optimal sistemalarni yaratishda optimallik masalasini ifodalash muxim axamiyatga ega. Optimallik masalasini ifodalash – matematika nuqtai nazaridan sifatning biron bir ko‘rsangichining minimum yoki maksimumni ifodalavchi talab sifatida ko‘riladi va optimallik mezoni yoki maqsad funksiyasi deiladi.

Optimallik mezoni sifatida turli texnik va texnik-iqtisodiy ko‘rsatgichlar va baxolar qabul qilinishi mumkin. Misol uchun, mezon texnik-iqtisodiy foydani (unumdorlik, FIK, daromad va x.k.) aks ettirishi mumkin, bu vaqtda optimal boshqaruv optimallik mezoni maksimumini ta’minlb berishi kerak; mezon turli yo‘qotishlarni (energiya, yoqilg‘i, mablag‘ va x.k.) ham aks ettirishi mumkin, unda bu vaqtda optimal boshqaruv optimallik mezoni minimumini ta’minlb berishi kerak.
Sistemalarni optimal boshqaruvi masalasi optimal boshqaruvning maqsad funksiyasi rolini ijro etuvchi sifat mezonining ekstremal qiymatga erishishini ta’minlashdan iborat.
Optimal boshqaruvi maqsad funksiyasining matematik tavsifi masalasi boshqarish sistemasiga qo‘iladigan talablarni ifodalashdan iborat, ya’ni talablarni mantiq va matematika terminlarida ifodalashdan iborat.
Optimallashtirish masalasini yechish uchun quyidagilar zarur:

• 
  optimallik mezoni ( R ) ni shakllantirish;
  
• 
  optimallashtiriladigan o‘zgaruvchilar ( ) ni tanlash;
  
• 
  optimallik mezoni qiymatini aniqlashning aniq usulini amalga oshirish (sonli yoki tajribaviy – statistik).
  

Optimallik mezoni jarayon shakllanishi sifatining miqdoriy tavsifi hisoblanadi.
Optimallik mezonlari fizik – kimyoviy (butun mahsulot, aralashma, mahsulot chiqishining konsentratsiyasi) va iqtisodiy (tannarx, foyda, rentabellik) ga farqlanadi.
Optimallik mezonining qiymati matematik model (optimallashtirishning taqribiy usuli) yordamida aniqlanadi. Optimallashtirishda avvalroq identifikatsiyalash masalasi echilgandagi matematik modellar qo‘llaniladi. SHunga mos ravishda modellarning koeffitsientlari quidagi tenglikda ko‘rsatilgan:
Agar jarayonning monand matematik modelini qurishning iloji bo‘lmasa, unda chiqish o‘zgaruvchining tenglamadagi qiymati tajribalar (optimallashtirishning tajribaviy – statistik usuli) dan aniqlanadi. Bunday hollarda tajriba (faol tajriba) o‘tkazishning optimal strategiyasi amalga oshiriladi.
Optimallik mezonlariga qo‘yiladigan talablar:

• 
  optimallik mezonlari miqdoriy bo‘lishi kerak;
  
• 
  optimallik mezonlari yagona bo‘lishi kerak;
  
• 
  optimallik mezonlari optimallashtirilayotgan o‘zgaruvchilarga bog‘liq holda monoton o‘zgarishi kerak.
  

SHunday qilib, optimallik mezonini tanlashda uning funksiyasi bir ekstremumli unimodal funksiya bo‘lishi va uzilish nuqtalaridan tashkil topmasligi kerak.
Quyidagilar avtomatik sistemalarning asosiy sifat mezonlari sifatida qabul qilingan: ishlovning narxi, sistemani ishlab chiqish va ekspluatatsiya qilish, xarakat sifati, ishonchlik, massa, xajm, va x.k.
Ush bu xususiy mezonlarning xar biri sistemani to‘liq xarakterlaydigan bir nechta o‘zgaruvchanlarning funksiyasi bo‘ladi.
Optimal boshqaruvi maqsad funksiyasi optimal sistemalarni biron bir usul yordamida sintez qilish imkoniyatiga ega bo‘lgan shaklda bo‘lishi kerak.
Sistemalarni ishlatishdagi konkret sharoitlarga ko‘ra odatda rejimlarni optimallashtirishda ikkita masala ko‘riladi: statik va dinamik.
Dinamik optimallashtirish past satxdagi podsistemalarga, statik optimallashtirish yuqori satxdagi podsistemalarga xos.
Avtomatik boshqaruv nazariyasida sistemalarni ishlash sifatini aks ettiruvchi funsionallar keng tarqalgan.
Umumiy xolda funksionallar fazalar koordinatlariga x_i(t) , t =1, 2, ..., n; boshqaruv koordinatlariga u_l(t) l =1, 2, ..., r; va g‘alayon ta’siri koordinatlariga f_vj(t), j = 1, 2, ..., k bog‘liq buladi va quyidagi ko‘rinishga ega: (4.1)
Bu erda [t₀, t_k] –ko‘rilayotgan vaqt intervali; F(...) sifat ko‘rsatgichini aks ettiruvchi funksiya; X, u, f_v(t) – fazaviy koordinatalar, boshqaruv va g‘alayonlar vektorlari.
Ush bu funsionalning maksimal yokim minimal qiymatga ega bo‘lishi sistemaning optimal xolatini ko‘rsatadi.
(1.1) ko‘rinishdagi mezon, avtomatik sistemaning sifat ko‘rsatgichini xarakterlovchi barcha mezonlar majmuasidan faqat bittasini ifodalasa, u skalyar tipdagi mezon deiladi.
Optimallik mezoni sifatida o‘tish jarayonining vaqtini qabul qilinishi mumkin:
. (4.2)
Agar, yaratilgan sistema koordinatalarnig chegaranilishini xisobga olgan xolda ush bu mezonning minimumini ta’minlab bersa, tezlik bo‘yicha optimal xisoblanadi.
Optimallik mezoni sifatida avtomatik boshqaruv nazariyasiga ma’lum bo‘lgan o‘tish jarayonining integral baxolanishlari xam qabul qilinishi mumkin:
Kvadratik integral baxolashni qo‘llaganda, quyidagi integralning minimumi ta’minlansa, sistema optimal bo‘ladi:
, (4.3)
Bu erda (t) = y_b – y(t) – chiqish o‘zgaruchani u(t) ni berilgan u_b qiymatidan og‘ishi.
(4.3) mezoni sistemani noaniqlik sharoitida va adaptiv boshqarish qurilmasini qurish vaqtida moslashish sifatini baxolashda qo‘llanishi mumkin.
Tasodif signallrar ta’siri vaqtida optimallik mezoni sifatida sistemaning xatoligi kvadratining ² o‘rtacha qiymati yoki chiqish koordinatasi kvadratining qiymati u² qabul qilinishi mumkin:
(4.4)
, (4.5)
Unda yaratilgan sistema, (4.4) yoki (4.5). integrallarning minimumini ta’minlasa, aniqlik bo‘yicha statik ma’noda optimal xisoblanadi.
Ko‘pchilik ob’ektlarni turg‘in rejimlarini va statikasini optimallaganda, odatda, ob’ektlarni xarakterlovchi ko‘p o‘zgaruvchanlar funksiyasining minimum yoki maksimumini olish masalasi qo‘iladi:
J = Q(x₁,x2, …, x_n), (4.6)
Q(...) – sifat ko‘rsatgichisini xarakterlochi funksiya; x_i –ob’etni ish rejimini ko‘rsatuvchi o‘zgaruvchanlar.
Bunda yaratilgan sistema, turg‘in rejimlar va statikada optimal xisoblanadi.
Agar texnologik jarayonning o‘tish tezligiga ko‘ra (4.6) optimallik mezonini vaqt bo‘yicha o‘zgarmas deb xisoblash mumkin bo‘lmasa, texnologik jarayonni dinamikada, masalan, quyidagi funksional yordamida optimallashtirish kerak.
. (4.7)
Eng yomon sharoitlarda sistematni eng yaxshi faoliyat ko‘rsatishini ta’minlash uchun minimaks mezonini qo‘llash kerak.
Optimal boshqaruvni aniqlash, sifat mezoninig maqsadiga ko‘ra, minimal yoki maksimal qiymatga ega bo‘ladigan boshqaruv ta’sirlarini tanlashdan iborat bo‘lib, uz ichiga uchta masalani qamrab oladi:

1. 
   tegishli optimallik mezonlari ko‘rinishdagi optimal boshqaruv maqsadini tanlash va uni matematik tafsifini tuzish;
   
2. 
   ob’ektning matematik modelini tuzish, Y, X va u vektorlarining chegaralanishlarini o‘rnatish xamda ob’ektning xususiyatlariga va tashqi f(t) ta’sirlariga baxo berish;
   
3. 
   optimal boshqaruvni sintez qilish usulini tanlash.
   

Ob’ektni statik (turg‘in) va dinamik rejimlari farklanligi sababli optimallashtirishtirish masalasi quilishida matematik modellarda tegishli tenglamalar ishlatiladi.
Umumiy tipdagi ob’ektlarda bo‘lib utadigan jarayonlar, ob’ektni xolatini va chiqishlarini ifodalovchi nochizikli tenglamalardan iborat bo‘lgan, matematik model bilan tavsiflanadi, masalan
, (4.8)
bu erda f(...) i (...) – n va m elementlardan tashkil topgan matritsa-ustunlar.
Natijalarnig aniqligi qoniqarli bo‘lgan xolatlarda, masalani soddalashtirish maqsadida bu modelni soddalashtirib, ob’ektning xolati va chiqishlarini aks ettiruvchi tenglamalarni chiziqli ko‘rinishga olib kelish mumkin:
, (4.9)
bu erda A, V, V_f, S, D – koeffitsientlar matritsasi, ularning o‘lchamlari X, u, Y va f_v(t) vektorlarining o‘lchamlariga boglik.
Statsionar ob’ektlarning statik rejimlarida boshqaruv vektorlarining U komponentalari (tashkil etuvchilari), f_v(t) ta’sirlar yuqligida yoki ular o‘zgarmas bo‘lsa, vaqt bo‘yicha uzgarmaydi. CHiqish vektorining tashkil etuvchilari esa, ob’ektning statik xarakteristikasi bilan aniqlanadi
Nostatsionar bo‘lgan ob’ektlarning koordinatalari va uning xarakteristikalari vaqt bo‘yicha o‘zruvchan buladi.