14-mavzu: Optimallashtirish masalasining qo‘yilishi

14-mavzu: Optimallashtirish masalasining qo‘yilishi.

4.1.Optimallashtirish masalasining qo‘yilishi.

Optimallashtirish - bu so‘zning keng ma’nosida – ilm-fanda, texnikada va insoniyatning turli faoliyatida tabora ko‘p qo‘llaniib kelmoqda.

Turli masalalarning optimal echimni topish muammolari maxsus matematik usullarni kashf etishga olib keldi, va 18 asrda optimallashtirishning matematik usullarini yaratishga aosos qo‘yilgan edi (variatsion hisoblar, masalalarni taqribiy yechish usullari va h.k.). Lekin 20 asrning ikkinchi yarmigacha ilm-fannig ko‘p tarmoqlarida optimallashtirish usullarikamdan-kam qo‘llanar edi, chunki optimallashtirishda matematik usullarni qo‘llash talaygina hisoblashlarni talab etadi, buni esa zamonaviy hisoblash texnikasisiz amalga oshirish juda qiyin, ko‘pgina hollada esa umuman echib bo‘lmaydigan bo‘ymaydigan masaladir.
Optimallashtirish masalasini qo‘yilishi texnologik jarayonda ayrim shartlarni, texnologiyaning xususiyatlarini bajarilishini talab qiladi, masalan:
“mahsulot miqdori – xom-ashyo sarfi”
“mahsulot miqdori – mahsulot sifati”
Ko‘rsatilgan xususiyatlar uchun kompromis variantni tanlash aynan optimallashtirish masalasining asosi hisoblanadi
Optimallashtirish masalasi qo‘yilishida quyidagi shartlar bajarilishi kerak:
1. Optimallashtiriladigan ob’ektnig mavjudligi va optimallashtirish maqsadi. Bu vaqtda xar bir optimallashtirish masalasi faqatgina bitta ekstremal qiymatini talab qilishi kerak, ya’ni sistemaga bir vaqtning o‘zida ikkita va undan ko‘p optimallashtirish mezoni qo‘yilishi mumkin emas, chunki bitta mezonning ekstremumi boshqa mezonning ekstremumiga to‘g‘ri kelmaydi.
Optimallashtirish masalasini noto‘g‘ri qo‘yilishining tipik misoli:
“Minimal tannarxda maksimal ishlab chiqarish hajmiga erishish”. Masalani qo‘yilishidagi xatolik - ikita kattalikning optimumini topish kerakligidan iborat.
Masala quyidagicha qo‘yilishi kerak edi:
a) berilgan tannarxda maksimal ishlab chiqarish hajmiga erishish,
b) berilgan ishlab chiqarish hajmida minimal tannarxga erishish.
2. Optimallashtirish resurslarining mavjudligi, ya’ni optimallashtirishtirilayotgan ob’ektning ayrim parametrlar qiymatlarini tanlash mumkinligi. Ob’ekt ma’llum erkinlik darajalariga – boshqaruv ta’sirlariga - ega bo‘lishi kerak.
3.Optimallashtirilayotgan kattalikning miqdoriy baxolash imkoniyati mavjudligi, chunki faqat shundagina u yoki bu tanlangan boshqaruv ta’siri effektlarini solishtirish mumkin bo‘ladi.
4. CHegaralanishlarni hisobga olish.
O
datda optimallashtirilayotgan kattalik o‘rganilayotgan ob’etning (apparat,ssex, zavod) ekonomligiga bog‘liq bo‘ladi. Taklif etilayotgan optimal variant qandaydir miqdoriy o‘lcho‘v bilan baxolanishi kerak, bu o‘lcho‘v optimallik mezoni (kriteriy) deyiladi.
X – ob’ektning nazorat ostidagi kirishlari; Y – ob’ektning chiqishlari; U – boshqruv parametrlari; Z – nazorat qilinmaydigan ta’sirlar (g‘alayonlar).
Optimallashtirish prinsipini texnikada qo‘llash turli texnik uskunalar va jarayonlarni optimal boshqarish va optimal sharoitda olib borish imkoniyatini beradi, ya’ni berilgan boshqaruv ob’ekti optimal ko‘rsatgichlarga ega bo‘lishi uchun zarur bo‘lgan boshqaruv parametrlarni aniqlash imkoniyatini beradi. Optimal boshqaruv texnologik jarayon va ishlab chiqarishni kompleks avtomatlashtirish vaqtida qo‘llaniladi.
Agar boshqaruv ob’ektining parametrlari va xarakteristikalari o‘zgarmas (stabil) bo‘lmasa, tashqi ta’sirlar statistik xarakteristikalari esa erkin xolda o‘zgaradigan bo‘lsa, boshlang‘ich ma’lumot asosida tuzilgan optimal sistemaning o‘zgarmas (qattiq) sozlanishi jarayonni optimal sharoitda olib borish imkoniyatini informatsiya (ma’lumot) kamligi sababli bermaydi. Bu sharoitda (noaniqliklar sharoitida) adaptatsiya (ko‘nikish) prinsipi qo‘llaniladi.
Adaptatsiya xususiyatiga ega bo‘lgan avtomatik sistemalarini mukamalashtirganda adaptiv sistemalarni yaratish nazarda tutiladi. Adaptiv sistemalar parametrlarni yoki rostlagich tizimini sharoit o‘zgarishiga qarab moslashishini ta’minlab beradi.
Optimallik va adaptivlik prinsiplarini texnikada qo‘llash mukammal avtomatik sistemalarni yaratish imkonini beradi.
Optimallashtirish masalasi xuddi ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning ekstremumlarini qidirishning matematik masalasi kabi qaraladi. Ko‘p o‘zgaruvchilar uchun optimallashtirish masalasining ifodalanishi:
Optimallashtirilayotgan o‘zgaruvchilarning (optimallashtirish resurslari) ta’rifining ruxsat etilgan sohasidagi, optimallik mezonining ekstremum (eng katta yoki eng kichik) kattaliklarini ta’minlovchi qiymatini topish lozim.
Natijada optimallashtirish masalasini quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:

CHiqish o‘zgaruvchisi bilan boshqa o‘zgaruvchilarning bog‘liqligi fizik – kimyoviy operatorli aks ettirish bilan beriladi:
bu erda modellashtirilayotgan ob’ektning holatini aniqlovchi kirish o‘zgaruvchisi ikki guruhdagi o‘zgaruvchilarga ajratiladi: –nazorat qilish varostlash mumkin bo‘lgan optimallashtiriluvchi o‘zgaruvchi va – nazorat qilinadigan, lekin rostlanmaydigan o‘zgaruvchi (xuddi optimallashtirish resurslari kabi ishlatib bo‘lmaydi).
Natijada optimallashtirish masalasi quyidagi ko‘rinishda keltiriladi:

Optimallashtirilayotgan o‘zgaruvchi va chiqish o‘zgaruvchilariga chegaralanishlar qo‘yish mumkin (o‘zgaruvchilarni faqat ma’lum chegaralarda o‘zgartirish imkoni).

Amaliyotda optimallashtirish masalalarini echishda chiqish o‘zgaruvchilari yoki tajriba ma’lumotlari – optimallashtirishning tajribaviy – statistika usulidan yoki jarayonlarning matematik modellari – optimallashtirishning sonli usuli yordamida aniqlanadi.
Matematik modellar ushbu holda funksional operatorli aks ettirish yordamida ifodalanadi:

chiqish o‘zgaruvchilarining vektorini matematik modellar bo‘yicha hisoblashda olingan chiqish o‘zgaruvchilari baholarining vektoriga almashtirish optimallashtirish masalasiga xuddi kompьyuterda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning ekstremumlarini qidirishning matematik masalalari kabi qarash imkonini beradi.
Masala: R = R( u ) funksiyaning maksimumini aniqlash
Yechish natijalari: .



Misol:
Quyidagi rasmda keltirilgan komponentlar konsentratsiyalarining o‘zgarishini A→P→S ketmaket reaksiyalari uchun quyidagi optimallashtirish masalasini ifodalash mumukin: R oraliq mahsulotning konsentratsiyasi maksimal bo‘lganda reaksiyaning optimal vaqti ( t_opt ) ni toping.