14-маъруза. СИРТНИНГ ИККИНЧИ КВАДРАТИК ФОРМАСИ.
РЕЖА:
Сирт устида чизиқ эгрилиги билан сиртнинг нормал эгрилиги орасидаги боғланиш.
Сиртнинг иккинчи квадратик формаси.
Иккинчи квадратик форма коэффициентлари учун ифодалар.
Тенгламаси r=r(u,v) бўлган сирт устида эгри чизиқ берилган бўлсин. эгри чизиқда s табиий параметрни киритамиз. У холда эгри чизиқ бўйлаб u ва v лар s параметрнинг функциялари бўлади. Эгри чизиқ тенгламаси r=r(u(s),v(s)) кўринишда бўлади. Бизга маълумки r"ss=kν. Бу тенгликни сиртнинг бирлик нормал вектори n га скаляр кўпайтириб, қуйидаги
r"ss=kсоs (1)
тенгликни оламиз. Бу ерда - ва n векторлар орасидаги бурчак. (1) тенгликнинг чап томонини қуйидагича шакл алмаштириш қиламиз:
r"ss=ruu"+ rvv"2+2 ruvu'v'+ rvvv'2
бўлгани учун ва run=0, rvn=0 эканини эътиборга олсак:
rssn=(ruun)u'2+2(rvvn)u'v'+(rvvn)v'2=
== (2)
(2) тенглик суратидаги ифода квадратик формадан иборат бўлиб, уни сиртнинг 2-квадратик формаси деб юритилади ва одатда билан белгиланади. Демак,
=
иккинчи квадратик форманинг коэффициентлари учун қуйидаги белгилашларни киритамиз:
ruun=L; ruvn=M; rvvn=N.
Бундан (1) формулага асосан
=kсоs=Ldu2+2Mdudv+Ndv2 (3)
бўлади.
Бу формуладан шу нарса маълум бўладики, kсоs миқдор фақат эгри чизиқнинг йўналишига боғлиқ экан. Шунинг учун умумий уринмага эга бўлган барча эгри чизиқлар учун kсоs бир хилдир.
Таъриф. Сиртнинг уринма текисликка перпендикуляр текислик билан кесими унинг нормал кесими дейилади.
Таъриф. Сирт нормал кесимининг эгрилиги сиртнинг берилган нуқтадаги нормал эгрилиги дейилади ва kп билан белгиланади.
Агар эгри чизиқ сифатида сиртнинг нормал кесимини олсак, у холда |соs|=1 бўлади. Демак, k|соs|=kn бўлади.
Агар нормал эгрилик зарур ишорани белгиласак, у холда охирги тенгликни
kсоs=kn (4)
кўринишда ёзишимиз мумкин. Бунда
kn=
сирт устидаги эгри чизиқ эгрилиги билан сиртнинг нормал эгрилиги орасидаги боғланишни ифодаловчи (4) тенглик Менье теоремасининг моҳиятини ифодалайди.
Энди Ф сирт
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
кўринишдаги параметрик тенгламалар билан берилганда 1-ва 2-квадратик формаларнинг коэффициентлари учун ифодалар топамиз.
Ф сиртнинг параметрик тенгламалари
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
кўринишда берилган бўлсин.
Юқоридаги белгилашлар асосида 1-квадратик формани коэффициентлари учун ушбу
(6)
тенгликларни топамиз. Иккинчи квадратик форманинг коэффициентлари эса
L=ruun=ruu==
Худди шунингдек,
М=, N=.
Агар Ф сирт z=f(u,v) кўринишдаги тенглама билан берилган бўлса, у юқорида кўриб ўтганимиздек
x=u, y=v, z=f(u,v)
параметрик тенгламаларга тенг кучлидир. Шунинг учун 1-ва 2-квадратик формаларнинг коэффициентлари қуйидагича бўлади:
E=1+zx2, F=zxzy, G=1+zy2
L=, M=, N=.
Do'stlaringiz bilan baham: |