14-ma’ruza Mavzu: Tanlanma korrelyatsiya koeffisiyent va nisbat Adabiyotlar

14-ma’ruza

Mavzu: Tanlanma korrelyatsiya koeffisiyent va nisbat
Adabiyotlar: 1, 2, 7, 8, 16, 23, 26.
Tayanch iboralar: korrelyatsiya momenti, korrelyatsiya koeffitsiyenti, statistik bog’lanish, korrelyatsion bog’lanish, regressiya, regressiya chizig’i, chiziqli korrelyatsiya, egri chiziqli korrelyatsiya.


14.1. Chiziqli korrelyatsiya
Ma’lumki, ikkita o’zgaruvchi miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisini ham o’zgarishga majbur etsa, bu miqdorlar o’zaro funksional bog’langan deb atalar edi. Masalan, doira radiusi R ning o’zgarishi uning yuzi S (S=πR²) ni ham o’zgarishga majbur qiladi, bunda R va S o’zaro funksional bog’langan. Funksional bog’lanish tasodifiy miqdorlar orasida ham bo’lishi mumkin.
Statistik bog’lanish deb shunday bog’lanishga aytiladiki, unda miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisi taqsimotining o’zgarishiga olib keladi. Xususan, statistik bog’liqlik miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchisining o’rtacha qiymatini o’zgarishiga olib kelsa, bu holda statistik bog’lanish korrelyatsion bog’lanish deb ataladi.
Masalan, maydoni bir xil bo’lgan yer uchastkalariga bir xil miqdorda o’g’it solingan taqdirda ham har xil hosil olinadi. Lekin o’rtacha hosildorlik solingan o’g’it miqdoriga bog’liq bo’ladi. Bu yerda hosildorlikning o’rtacha qiymati bilan o’g’it miqdori orasida korrelyatsion bog’lanish mavjud deb qarash mumkin.
X va Y belgilar berilgan bo’lsin.
Shartli o’rtacha qiymat deb Y ning X=x qiymatga mos qiymatlarining o’rtacha arifmetik qiymatiga aytiladi.
Y ning X ga korrelyatsion bog’liqligi deb, shartli o’rtacha qiymatning x ga funksional bog’liqligiga aytiladi:
. (87.1)
Bu tenglama Y ning X ga regressiya tenglamasi deyiladi;
f(x) funksiya Y ning X ga regressiyasi, uning grafigi esa Y ning X ga regressiya chizig’i deyiladi.
Ushbu
(87.2)
tenglama X ning Y ga regressiya tenglamasi deyiladi.
Korrelyatsion bog’liqlik ikki xil bo’ladi: chiziqli va egri chiziqli.
Korrelyatsion bog’liqlik chiziqli bo’lganda regressiya tenglamasi
(87.3)
ko’rinishda bo’ladi.
Bu tenglamadagi a tanlanmaning regressiya koeffitsiyenti deyiladi.
(87.3) dagi a va b ni eng kichik kvadratlar usuli yordamida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasidan topamiz:
(87.4)
Y ning X ga regressiyasi to’g’ri chizig’ining tanlanma tenglamasi
(87.5)
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda - shartli o’rtacha qiymat, va tekshirilayotgan X va Y belgilarning tanlanma o’rtacha qiymatlari; - tanlanma o’rtacha kvadratik chetlanishlari, -tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti quyidagi formula orqali topiladi:
_. (87.6)
Chiziqli korrelyatsion bog’lanish zichligini baholash uchun ana shu tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti xizmat qiladi; birga qancha yaqin bo’lsa, bog’lanish shuncha kuchli bo’ladi.
Hisoblashlarni soddalashtirish uchun hisoblash jadvalini tuzish ma’qul. Agar X va Y belgilar ustida kuzatish ma’lumatlari jadvalini

shartli variantalarni kiritib soddalashtirish mumkin, bunda C₁ va C₂ mos ravishda x_i va y_i ning variatsion qatorining taxminan o’rtasida joylashgan qiymatlari; h₁ va h₂ mos ravishda x_i va y_i ning qo’shni qiymatlari orasidagi masofa.
Shartli variantalar orqali tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti quyidagicha topiladi:
, (87.7)
bu yerda

ni hisoblash bilan misol orqali topamiz.
larni topgandan so’ng regressiya tenglaasidagi ifodalarni quyidagicha topamiz:
(87.8)