13 – лекция Обработка результатов имитационного эксперимента

2. Критерий Вилкоксона

Как и в предыдущем случае, решается следующая задача. Имеются две серии независимых наблюдений однородных случайных величин , причем значения , дают различные значения средних или (и) различные рассеивания. Возникает вопрос: можно ли считать эти расхождения существенными или расхождения зависят от случайных выборок?
Простой в употреблении и вполне приемлемый по точности критерий для проверки гипотезы о тождественности функций распределения предложил в середине прошлого века . Вилкоксон (Уилкоксон, 1892–1965). Критерий назван его именем.
Рассматривается нулевая гипотеза: . Конкурирующая гипотеза: .
Критерий основан на подсчете числа инверсий. Инверсии определяются так.
Измеренные значения , располагаются в общую последовательность в порядке возрастания их значений. Пусть это будет, например, так:

где – члены, принадлежащие первой выборке; – члены второй выборки.
Данная последовательность – не убывающая, содержащая чисел, m– количество чисел последовательности – последовательности .
Если гипотеза верна, то достаточно очевидно, что числа из обеих последовательностей хорошо перемешиваются. Степень перемешивания определяется числом инверсий членов первой последовательности относительно второй. Если в упорядоченной общей последовательности некоторому предшествует одно значение у, это означает, что имеет место одна инверсия. Если некоторому предшествуют значений у, то это значение имеет инверсий.
Для нашего примера член имеет одну инверсию ; член – тоже одну член х имеет четыре инверсии ; член – шесть инверсий .
Таким образом, общее число инверсий .
Показано, что случайная величина уже при и дает хорошее приближение к нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией
.
При уровне значимости и нормальности распределения вероятность попадания значения в критическую область (что означает неподтверждение нулевой гипотезы) равна

Отсюда следует, что левая и правая критические границы (рис. 5.3) равны соответственно

Рис. 5.3. Левая и правая критические границы функции

Значение определяется так:

.
Здесь – функция Лапласа, с которой мы встречались ранее, она табулирована. Наиболее актуальные соответствия уровней значимости и аргументов функции Лапласа указаны в табл. 5.4.
Таблица 5.4
Уровни значимости и аргументы функции Лапласа