13 – лекция Обработка результатов имитационного эксперимента

Рис. 5.5. Графическое исследование корреляции:
а – нелинейная зависимость; б – положительная линейная зависимость; в – отрицательная линейная зависимость; г – отсутствие связи

Если , то между линейная независимость.

Равенство свидетельствует о наличии однозначной функциональной связи между , т.е. .
При между существует стохастическая связь, причем чем ближе коэффициент корреляции по модулю к единице, тем эта связь сильнее. Стохастическая связь означает, что при изменении а имеется лишь тенденция к изменению .
Коэффициент корреляции определяется по данным эксперимента, следовательно, можно определить только его оценку . В качестве оценки принят выборочный коэффициент корреляции:
,
где , – оценки математических ожиданий –оценки средних квадратических отклонений .
Выборочный коэффициент корреляции ,так же как и теоретический, принимает значения на отрезке .
Если , то наблюдается положительная корреляция (см. рис. 5.5, б), если – отрицательная корреляция (см. рис. 5.5, в). Если , то линейная корреляция отсутствует (но не исключена нелинейная). Если , то между случайными величинами существует жесткая функциональная связь.
Заметим, что рассматриваемый коэффициент корреляции определяет степень линейной связи между случайными величинами . Эта корреляция наиболее популярна, поэтому часто, когда говорят о корреляции, имеют в виду именно корреляцию Пирсона.
Однако этот линейный коэффициент корреляции не является пригодным для оценки нелинейной связи, если таковая присутствует. При нелинейной зависимости степень связи между случайными величинами устанавливается более сложными характеристиками, например корреляционным отношением (К. Пирсон).
Числитель выражения (5.1) иногда называют ковариацией – .
Если случайные величины независимы, они и не коррелированы . Но некоррелированность не всегда свидетельствует об их независимости. Однако если имеют нормальное распределение, то условие является необходимым и достаточным условием независимости этих величин.
И еще один момент. Наличие корреляции между случайными величинами не всегда свидетельствует об их взаимосвязи. Дело в том, что при независимости каждая из них в отдельности зависит от некоторого случайного фактора но эта зависимость нами не замечена.
Поэтому хорошим тоном после вычисления корреляций является построение диаграмм рассеяния, которые позволяют понять, действительно ли между двумя исследуемыми переменными имеется связь.
Оценка коэффициента корреляции должна быть определена с требуемой точностью и достоверностью, которые зависят от числа реализаций модели. Найдем эту связь.
В предположении нормальности распределения можно написать
.
С выражением (5.2) мы уже знакомы. Здесь r – точное значение коэффициента корреляции; – среднее квадратическое отклонение случайной величины – аргумент функции Лапласа .
Обычно среднее квадратическое отклонение неизвестно, поэтому нужно брать его оценку.
При больших выборках оценка среднего квадратического отклонения такова:
.
Из формулы (5.2) следуют соотношения
,
где – абсолютная величина ошибки.
Предварительное определение осуществляется по данным пробного эксперимента в количестве реализаций модели.
На основании изложенного и в силу случайного характера исследуемых величин мы можем утверждать лишь следующее: истинное значение коэффициента корреляции г лежит в пределах

с заданной достоверностью .
В заключение отметим, что если совместное распределение случайных величин не является нормальным, то оценка коэффициента корреляции может выступать в качестве ориентировочной оценки степени тесноты связи .