12-маъруза Мавзу: Мактаб ва урта махсус муассасалар математика курсида функция тушунчасини киритиш ва ўқитиш методикаси

12-маъруза
Мавзу: Мактаб ва урта махсус муассасалар математика курсида функция тушунчасини киритиш ва ўқитиш методикаси.


Режа

1. 
   Функция тушунчасининг киритилиши ва ўрганилиши
   
2. 
   Элементар функцияларни ўрганиш методикаси
   
3. 
   Функциялар хоссалари ва графикларини ўрганиш
   

Адабиётлар:

1. 
   Абдуҳамидов А.У. ва бошқалар. Алгебра ва математик анализ асослари.1-қисм. АЛлар учун дарслик.Т. “Ўқитувчи”2005й. 296-369 бет.
   
2. 
   Абдуҳамидов А.У. ва бошқалар. Алгебра ва математик анализ асослари.1-қисм. АЛлар учун дарслик.Т. “Ўқитувчи”2005й. 4-31 бет.
   
3. 
   Вафоев Р.ва бошқалар. Алгебра ва анализ асослари. АЛ ва касб ҳунар коллежлари учун дарслик.Т. “Ўқитувчи”2004й. 112-113,134-136,161-175 бет.
   
4. 
   Мелиқулов А ва бошқалар. Математика.1-қисм. Касб - ҳунар коллежлари учун ўқув қўлланма. Т. “Ўқитувчи”2004й.207-273 бет.
   
5. 
   Алимов Ш.О. Алгебра. Умумий таълим мактабларининг 8-синфи учун дарслик. Т. “Ўқитувчи” 2006й. 7-30 бет.
   
6. 
   Алимов Ш.О. ва бошқалар Алгебра. Умумий таълим мактабларининг 9-синфи учун дарслик. Т. “Ўқитувчи”2006й. 5-28, 76-93 бет.
   

Таянч иборалар: функция, функция аниқланиш, ўзгариш сохалари, даврийлиги, жуфт-тоқлиги, ўсиши, камайиши, графиги, асосий элементар функциялар хоссалари, графиклари


1. Функция тушунчаси хозирги замон математикасининг асосий ва мухим тушунчаларидан бири хисобланади. Бу тушунча табиатда турли хил ходисаларни ўрганиш, техниканинг барпо булиши, математиканинг узининг талаби билан боглик равишда пайдо булди ва узок давом этган жараён натижасида хозирги куринишга келди. Функция тушунчасининг пайдо булиши ва шаклланишида асосий хол жамиятнинг амалий фаолияти, тажрибалари талабидир.
Одамлар табиатда турли хил ходисаларни урганиб, бу ходисаларда катнашувчи мукдорлар хар бир холда бир-бири билан аник бир богланишда булишини аникладилар. Шундай килиб, «узгарувчи микдор» ва «узгарувчи микдорлар орасидаги богланиш» тушунчалари аста-секинлик билан шаклланиб борди.
Конкрет узгарувчи микдорлар орасидаги турли хил богланишларни абстракциялаш абстракт тушунча булмиш функция тушунчасига олиб келади
Умумий урта таълим мактаблари учун математикадан хозирги амалдаги дастур буйича функция тушунчаси 7-синф «Алгебра» курсида урганилади.
Дастлабки пайтларда (функция билан дастлабки танишишда) бу тушунча турли сон кийматларни кабул киладиган ва ўқувчига маълум булган конкрет микдорлар билан богланади.
Шундай килиб, функция тушунчаси билан танишишнинг биринчи боскичида Ўқувчилар бу тушунчанинг пайдо булиш манбалари – математиканинг узида ва кушни фанлар (физика, химия, техника) да хар кадамда учрайдиган конкрет узгарувчи микдорлар сохаси билан танишишлари керак. Аммо шуни хам назарда тутиш керакки, умумий урта таълим мактаблари математикаси узининг мазмуни ва татбикий имкониятларига кура хали «конкрет микдорлар ва улар орасидаги конкрет богланишлар дунёси ичида туради”.
Функция тушунчасини ўрганишнинг иккинчи боскичида узгарувчи микдорни абстракт узгарувчи сифатида баён килиш керак (бунда «микдор» сузини ишлатмаслик хам мумкин), яъни хар хил сон кийматларни кабул килиши мумкин булган «ихтиёрий нарса», бошкача килиб айтганда, умуман узгарувчи сифатида баён этиш керак. Бу ерда функция тамомила конкрет мазмундан четлашган формада у=f(х) (1) абстракт формула ёрдамида ифодаланувчи х ва у узгарувчилар орасидаги кандайдир богланиш сифатида тушунилади.

1. 
   у узгарувчи х нинг кандайдир функцияси эканлигини, яъни х нинг кабул килиши мумкун булган хар бир кийматига кандайдир усулда у нинг маълум бир киймати мос келишини англатади.
   

Педагогика олий укув юрти ва университет математика факулътетининг математик анализ курсида функция тушунчаси тўпламлар назарияси асосида, яъни кандайдир икки тўплам элементлари орасидаги мослик оркали баён этилади
Хакикатан, функциянинг тўплам буйича таърифини хосил килиш учун эркли узгарувчи х ва эрксиз узгарувчи у нинг узгариш сохаларини алохида тўпламлар сифатида ажратиш кифоядир: х нинг узгариш сохаси Х (хєХ) ни функциянинг аникланиш тўплами, у функциянинг узгариш сохаси У (уєУ) ни эса функциянинг кийматлари тўплами деб атаймиз ва энди у =f (х) функция х ва у орасида бир кийматли мослик урнатади.
Ўқувчиларга функция таърифини бергандан сунг унинг уч хилда, яъни аналитик, жадвал, график усулларида берилиши хакида билимлар бериш имконияти тугиулади. Бу усулларнинг бир-бирига муносабатини урнатиш хам ўқувчиларнинг функция хакидаги дастлабки тушунчаларини мустахкамлашга хизмат килади.
Ўқувчиларни VII ва юкори синфларда функционал богланиш гоясини, функция тушунчасини ва тенглама тушунчасини онгли равшда билиб олишга тайёрлаш максадида бу тушунчаларни киритишга таёргарлик ишларини эртарок бошлаш керак.
Тайёргарлик режасида куйи синф ўқувчиларига тушунарли булган, аммо хозирги бирон умумлаштиришга олиб бормайдиган, балки факат ўқувчиларда тажрибанинг тупланишига ёрдам берадиган хар хил машклардан фойдаланиш керак. Бу тажриба сонли мисоллар ва графика асосида ўқувчиларда табиий равишда тегишли тушунчалар хосил килишга олиб келадиган зарурий тасаввурлар вужудга келтиради
Бу машклар хар хил умумлаштириш ва махсус терминалогияга богланмагани холда ўқувчиларга курилаётган турли ифодалар узларидаги харфларга бериладиган хар хил кийматларга караб турли сон кийматлари олиши мумкинлигини аниклашга ёрдам бериши керак. Бу машклар ўқувчиларга функционал богланишни ифодалашнинг турли усулларини тушуниб олишга ёрдам бериши керак.
Масалан, V синфда каср сонлар сохасида компонентларнинг узгаришига караб амал натижаларининг узгаришини ўрганишда икки сондан бири узгармай, иккинчиси узгарганда уларнинг йигиндиси, айирмаси, купайтмасининг узгаришини жадвал тарзида тасвирлаш мумкин.
Жадвал куйидаги куринишда булиши мумкин:

I		II		III		IV
Х	2 +х	х	27 -х	х	Х-7	х	3 ∙х
				8		2
1	4
2

Ўқувчиларга функция таърифини бергандан сунг унинг 3 хилда берилиш усули хакида билимлар бериш имконияти тугилади. Бу усулларнинг бир бирига муносабатини урнатиш хам ўқувчиларнинг функция хакидаги дастлабки тушунчаларини мустахкамлашга хизмат килади. Бунда масалан, кандай килиб, аналитик усулда берилганда унинг графигини ясаш, ёки тескари масала, графиги берилганда унинг аналитик берилишини топиш хакида мухокама утказиш мумкин, Албатта купинча биринчи масала куп марта каралади ва формула функция графигини тасвирлаш учун барча имкониятларни беради. Лекин функция графигига караб унинг аналитик ифодаси ёки формуласини топиш кийинчиликлар тугдиради. Буни сезган холда ўқитувчи шундай график машклардан фойдаланиши лозимки, ўқувчи мунтазам равишда графикдан (унинг эскизидан) функция аналитик куриниши хакида тасаввурга эга булсин, бу албатта маълум кийинчиликлар ва малакаларни талаб этади.

Худди шундай хар бир бошка жадвал –формула, формула-жадвал, график-жадвал, жадвал-график каби функция берилиш усуллари муносабатларини мухокама этиб, уларга доир зарур машкларни ечиш максадга мувофик булади.
Бундан ташкари, функция берилиш усуллари махсус холларини хамда функцияни факат суз билан ифода этадиган усул хакида хам маълумотлар бериш мумкин. Масалан, аналитик усулда берилишда факат битта формула эмас бир неча формула ёрдамида бериладиган функцияларга мисоллар келтириб утиш мумкун. Суз билан ифода килинадиган функцияларга куйидаги мисолларни келтириш мумкин: антъе функция, х дан кичик энг катта бутун сон, Дирихле функцияси (барча рационал сонларда 1, иррационал сонларда эса 0 га тенг).
Функция тушунчасини киритишда унинг аникланиш ва уузгариш сохалари ошкора берилмаганда кандай килиб топиш,ёки график усулида берилганда бу сохаларни кандай аниклаш мумкинлиги хакида маълумотлар бериш ўқувчилар функционал тафаккурини устириш учун хизмат килади. Функция хакида дастлабки умумий тушунчаларни беришда яна функционал белгилашларга алохида эътиборни каратиш, фукция кийматларини хисоблаш малакаларини таркиб топтирищ яхши натижалар беради. Бунга доир функциянинг берилган нуктадаги кийматини топишга доир хисоблаш, исботлаш ва бошка масалаларни караб чикиш хам уларнинг фукционал тасавурларини устиришда ахамиятга эга. Шунингдек, баъзи жараёнлар узгаришини фукция билан ифодалаш, физик геометрик мазмунли матнли масалаларни ечиш хам ижобий натижалар беради.
2. Мактабнинг 7-синфидан бошлаб куйидаги функциялар урганилади, булар: чизикли функция, квадратик функция, даражали функция, логарифмик ва курсаткичли функция, тригонометрик функциялар.
Бу функцияларни ўрганиш уларнинг хоссаларини келтириб чикариш асосида амалга оширилади.
Энг дастлаб чизикли функция хоссалари батафсил урганилиб, аникланиш ва узгариш сохалари, бурчак коэффициенти тушунчаси тадкик этилиб, унинг графиги тугри чизикдан иборат эканлиги таъкидланади. Бунда дастлаб у=кх сунгра эса у=кх+в куринишдаги функциялар текширилиб, уларнинг хоссаларида усувчилиги ва камаювчилиги хакида билимлар берилади.
Квадратик функция эса дастлаб у=х² функция ва унинг хоссалари мухокама этилиб, унинг кайси ораликда усиши ёки камайиши жуфт функция эканлиги ордината укига нисбатан симметрик жойлашиши хакида тушунчалар берилади. Шундан сунг у=ах² , у=ах² +в ва у=а(х-с)²+ в ва нихоят умумий куринишдаги квадратик функция каралади. Бунда хар бир функция хоссалари хамда уни текшириш усуллари баён килинади. Бунда асосан куйидаги укув масалалари мухим хисобланади: функция нолларини топиш, унинг графиги (парабола) учи координаталарини топиш, координата уклари билан кесишиш нукталарини топиш, усиш ва камайиш ораликларини топиш, функциянинг энг катта ва энг кичик кийматларини элементар усуллар билан аниклаш.
Функцияларни ўрганишда ўқувчиларни функцияни текширишнинг умумий схемаси асосида иш юритишларига куниктириб бориш зарур. Бунда дастлаб функция аникланиш ва узгариш сохаларини урнатиш, функциянинг нолларини топиш, усиш ва камайиш ораликларини топиш, функциянинг энг катта ёки кичик кийматларини топиш, жуфтлигини текшириш ва булар асосида графикни ясаш куникмаларини таркиб топтириш мухим ахамиятга эга .
Даражали функцияни ўрганишда n нинг кийматларига мос унинг хоссалари турлича булиши хакида билимлар берилади. Бунда умумлаштириш ва махсуслаштириш оркали зарур билимларни шакллантириш имконияти тугиулади.
Курсаткичли ва логарифмик функцияларни ўрганишда эса асосий эътибор ўқувчиларнинг бу функцияларнинг узаро богликлиги асосида тушунишларига имкон бериш хамда тескари функция тушунчасини чукур узлаштиришларига зарур тушунтириш ва кушимча машклардан фойдаланиш яхши натижалар беради. Бундан ташкари, бу функциялар хоссаларини чукур билиш курсаткичли ва логарифмик тенглама ва тенгсизликларни ечишда асосий уринни эгаллайди.
Тригонометрик функцияларни ўрганишда куйидаги асосий жихатлар эътиборга олиниши зарур:
-тригонометрик фукциялар даврий функциялар булиб, уларнинг аникланиш ва узгариш сохалари, усиш ва камайиш ораликларини таккослаш асосида баён этиш зарур;
-тригонометрик функцияларни текширишда ўқувчилар тегишли хоссаларни тригонометрик бирлик доира ва координаталар системасида тасвирлаган холда мухокама юритиш уларнинг функционал тасаввурларини ривожлантириш учун асос булади.
Тригонометрик функцияларга доир укув масалалари ичида куйидагилар дарсларда караб чикилиши мумкин: тригонометрик функциялар кийматларини хисоблаш, тригонометрик функциялар жуфт-токлиги, даврийлигини аниклаш, энг кичик мусбат даврини топиш, энг катта ва энг кичик кийматларини топиш, тригонометрик функциялар графикларини ясаш.
Умуман олганда хар бир элементар функциялар синфини урганганда, уларнинг асосий хоссалари билан бирга, мактаб математика курси бошка йуналишлари билан хам узвий алокани урнатиш зарур, масалан, тригонометрик тенглама ва тенгсизликларни ечиш на факат аналитик усули билан балки график усулда ечилиб, уларни таккослаш, функционал нуктаи назардан ечимларни текшириш бу функционал йуналиш тадбикларини ургатишда алохида ахамиятга эга булади.
3. Функцияни ўрганишда унинг графигини ясашга ургатиш асосий малакалардан хисобланади. Шунинг учун хар бир функциялар синфини ўрганишда унинг графиги характерли хусусиятлари хамда ясаш алгоритми ўқувчиларга таништирилиши зарур. Бунда ўқитувчи умуман график усул функцияларни текширишнинг мухим куроли эканлигига ишонч хосил килиши талаб этилади.
Хозирги даврда хам функциялар графикларини ясаш амалий куникмаларини таркиб топтириш унчалик хам ахамият касб этмасада, янги технологиялар, супер ЭХМ ларнинг хаётга жорий этилиши анча мураккаб жараёнлар функционал богланишларини ва уларнинг графикларини ясаш бекиёс имкониятларига эга. Лекин ўқувчилар функционал тасавурларини оширишда график саводхонликни булиши, келажакда мутахассисларнинг турли жараёнлар богланишлари хакида дастлабки тушунчаларни пайдо килиш учун ахамиятли хисобланади.
Хар бир функция графигини ясаш алгоритми мавжудлиги ва графикни аникловчи тегишли маълумотлар хажми ўқувчиларда функция графикларини оптимал усулда ясаш ёки эскизини ясашга ургатиш мухимдир. Бунда функция графикларини алмаштиришлари хакида ўқувчиларга тушунчалар бериш, маълум кисмни ясаш оркали бутун график хакида тасаввур булишига эришиш мумкин. Шунингдек, графикни ясашда функция хоссаларидан фойдаланиш хакида хам зарур маълумотлар бериш мумкин: функция жуфтлиги ёки даврийлиги хоссалари унинг графигини ясаш учун имкон беради.
Функция графикларини алмаштиришлардаги ОХ уки, ОУ уки буйича силжитиш, ёки иккаласининг хам бир вактда бажарилиши, симметрия, графикни чузиш, кисиш ва параллел кучириш хамда унинг комбинацияларидан иборат алмаштиришларни куллашга доир машклар ечиш ўқувчиларнинг графикавий куникмаларини устириш билан бирга уларнинг урнатилаётган функция хоссаларини чукур эгаллашига имкон беради. Шунингдек, ўқувчилар функционал маданиятини устиришда график савол-машклар, тенглама ва тенгсизликларни график усулда ечиш, график асосида функциялар хоссаларини ажратишга доир машклардан фойдаланиш яхши натижалар беради.