12-маъруза Функция лимити 10. Тўпламнинг лимит нуқтаси

2⁰. Функция лимити таърифлари. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган бўлиб, нуқта тўплам-нинг лимит нуқтаси бўлсин. нуқтага интилувчи ихтиёрий :

кетма-кетликни олиб, функция қийматларидан иборат :

кетма-кетликни ҳосил қиламиз.
3-таъриф. (Гейне). Агар да бўладиган ихтиёрий кетма-кетлик учун да бўлса, га функциянинг нуқтадаги лимити дейилади ва да ёки

каби белгиланади.
Эслатма. Агар да
ва
бўладиган турли кетма-кетликлар учун да , бўлиб, бўлса функция да лимитга эга эмас дейилади.
1-мисол. Ушбу

функциянинг нуқтадаги лимити топилсин.
◄ Қуйидаги :

кетма-кетликни олайлик. Унда

бўлиб, да бўлади. Демак,
►
2-мисол. Ушбу

функциянинг даги лимити мавжуд бўлмаслиги кўрса-тилсин.
◄ Равшанки, да

бўлади.
Бу кетма-кетликлар учун

бўлиб, да

бўлади. Демак, берилган функция нуқтада лимитга эга эмас. ►
4-таъриф. (Коши). Агар сон олинганда ҳам шундай топилсаки, учун

тенгсизлик бажарилса, сони функциянинг нуқта-даги лимити дейилади:
.
Бу таърифни қисқача қуйидагича ҳам айтиш мумкин:
, , :
бўлса, .
3-мисол. бўлсин. Бу функция учун

бўлади.
4-мисол. Ушбу функциянинг нуқтадаги лимити 2 га тенг экани кўрсатилсин.
◄ сонига кўра деб олсак, у ҳолда тенгсизликни қаноатлантирувчи ихтиёрий да

бўлади. Демак, ►
5-мисол. Фараз қилайлик, да бўлсин. Бу функция учун

бўлади.
◄Маълумки, учун

бўлади. Бу тенгсизликлардан, функцияларнинг жуфтлигини ҳисобга олиб, да

бўлишини топамиз. Кейинги тенгсизликлардан эса

бўлиши келиб чиқади.
Энди ни олиб, дейилса, унда учун

бўлади. Демак,
. ►
6-мисол. Ушбу

функция учун

бўлиши исботлансин.
◄ бўлган ҳолни қарайлик. Бу ҳолда функция қатъий ўсувчи бўлади:
.
сонни олайлик. Маълумки, да

бўлиб, кетма-кетлик лимити таърифига биноан


бўлади. Энди дейилса, унда

бўлганда

бўлади. Демак, .
бўлганда бўлишини исботлаш ўқувчига ҳавола этилади. ►
5-таъриф. Агар сон олинганда ҳам шундай сон топилсаки, учун тенгсизлик бажарилса, функциянинг нуқтадаги лимити деб аталади ва

каби белгиланади.
Масалан,
,
функция учун

бўлади.
Айтайлик, функция тўпламда берилган бўлиб, нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлсин.