12-маъруза Функция лимити 10. Тўпламнинг лимит нуқтаси

6-таъриф. Агар сон олинганда ҳам шундай топилсаки, учун

тенгсизлик бажарилса, сони функциянинг даги лимити дейилади ва

каби белгиланади.
7-мисол. Айтайлик, , ,  бўлсин. У ҳолда

бўлади.
◄Ҳақиқатан ҳам, соннни олайлик. Равшанки, учун
.
Демак, дейилса, унда учун
бўлади. ►
8-мисол. Фараз қилайлик,

бўлсин. Унда

бўлишини исботлаймиз.
◄ сонни олайлик. Маълумки, да

бўлади. Унда

бўлади.
Агар дейилса, унда учун

бўлади Демак, . ►
9-мисол. Ушбу

муносабат исботлансин.
◄ сонни оламиз. Маълумки, да

Лимит таърифига биноан,

бўлади.
Энди десак, унда учун

бўлиб,

бўлади. Демак,
. ►
3⁰. Функция лимити таърифларининг эквивалентлиги.
3-теорема. Функция лимитининг Коши ҳамда Гейне таърифлари эквивалент таърифлардир.
◄Коши таърифига кўра сони функциянинг нуқтадаги лимити бўлсин:

Унда

бўлганда
(1)
бўлади. нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси. Унда 2-теоремага кўра кетма-кетлик топиладики, да бўлади. Кетма-кетлик лимити таърифига биноан
(2)
бўлади. (1) ва (2) муносабатлардан учун

бўлиши келиб чиқади. Бу эса сонини Гейне таърифи бўйича функциянинг нуқтадаги лимити эканини билдиради.
Энди сони Гейне таърифи бўйича функциянинг нуқтадаги лимити бўлсин.
Тескарисини фараз қиламиз, яъни функциянинг нуқтадаги лимити Гейне таърифи бўйича га тенг бўлса ҳам, Коши таърифи бўйича лимити бўлмасин. Унда бирор учун ихтиёрий сон олинганда ҳам ни қаноатлантирувчи бирор да

бўлади.
Нолга интилувчи мусбат сонлар кетма-кетлиги { } ни олайлик:


да .
У ҳолда
(3)
бўлади. Аммо , да , демак, Гейне таърифига асосан

бўлади. Бу (3) га зиддир. Демак, сони Коши таърифи бўйича ҳам, функциянинг нуқтадаги лимити бўлади. ►