11-маъруза Кўп ўзгарувчили функция ва унинг лимити 10. Кўп ўзгарувчили функция тушунчаси

2-таъриф (Гейне). Агар
1) да ;
2) да
шартларни қаноатлантирувчи ихтиёрий кетма-кетлик учун
да
бўлса, функциянинг нуқтадаги лимити (каррали лимити) дейилади. Уни ёки

каби белгиланади.
Эслатма. Агар

кетма-кетликлар учун да

бўлиб,
,
бўлса, функция нуқтада лимитга эга бўлмайди.
3-таъриф (Коши). Агар сон олинганда ҳам шундай топилсаки, тенгсизликни қаноатланти-рувчи да

тенгсизлик бажарилса, сон функциянинг нуқтадаги лимити (каррали лимити) дейилади.
Бу таърифни қисқача қилиб қуйидагича ҳам айтса бўлади.
Агар

бўлса, сони функциянинг нуқтадаги лимити дейилади.
3⁰. Функция лимитининг мавжудлиги. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган бўлиб, нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлсин.
1-теорема (Коши). функция нуқтада лимитга эга бўлиши учун сон олинганда ҳам шундай сон топилиб,

нуқталарда

тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. Айтайлик, функция нуқтада лимитга эга бўлсин:
.
Лимит таърифига кўра,


бўлади, Жумладан

нуқталар учун

бўлади.
Кейинги тенгсизликлардан

бўлиши келиб чиқади.
Етарлилиги. Айтайлик, сон олинганда ҳам шундай сон топиладики,

нуқталар учун

тенгсизлик бажарилади.
нуқтага интилувчи иккита кетма-кетлик-ларни оламиз: да

Бу кетма-кетликлар ҳадларидан фойдаланиб, ушбу

кетма-кетликни ҳосил қиламиз. Уни кетма-кетлик дейлик. Равшанки, бу кетма-кетликнинг ҳам лимити бўлади: да

Лимит таърифига биноан юқоридаги сонга кўра шундай топиладики, да

бўлади.
Теореманинг шартидан

тенгсизликнинг бажарилиши келиб чиқади. Демак, сонлар кетма-кетлиги фундаментал кетма-кетлик бўлади. Бинобарин, у яқинлашувчи :
да .
Унда да

бўлиб, функция лимитининг Гейне таърифига кўра

бўлади.►