11-Ma’ruza. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari. Reja

Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari
Endi boshqa tasodifiy miqdorlarning funksiyalari bo‘lgan tasodifiy miqdorning tsqsimot funksiyasini topish masalasini ko‘raylik.
Mayli, va Borel funksiyasi bo‘lsin. U holda tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi quyidagiga teng:
.
Agar – kamaymaydigan funksiya bo‘lib, uning uchun teskari funksiya aniqlangan bo‘lsa, u holda
.
Xususan, agar uzluksiz bo‘lsa, tasodifiy miqdor oraliqda tekis taqsimlangan bo‘ladi. Aksincha, tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor va berilgan taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasiga ega bo‘ladi.
Boshqa xususiy holda, ya’ni , holatda

bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, uchun , uchun esa
.
Endi tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topish masalasini qaraylik.
Yuqoridagilarga qo‘shimcha ravishda funksiya differensiallanuvchi va tasodifiy miqdor zichlik funksiyasiga ega bo‘lsin. U holda ning quyidagi zichlik funksiyasi mavjud
.
Misol uchun , bo‘lganda
.
Eslatma. Agar o‘smaydigan funksiya bo‘lsa, u holda
.
Endi bir nechta tasodifiy miqdor funksiyalarini qaraymiz.
Taqsimot funksiyasining ta’rifiga asosan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
.
Masalan, va bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar va zichlik funksiyalariga ega bo‘lsa, u holda

= .
Oxirgi tenglikni differensiallab,
(*)
tengliklarni hosil qilamiz.
1-misol. Agar va o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan va da tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda uchun

bo‘ladi.
Aytaylik, bo‘lsin, u holda
,
agar bo‘lsa,
.
Shunday qilib,

2-misol. Endi tasodifiy miqdor parametrli, tasodifiy miqdor parametrli normal qonun bilan taqsimlangan holni ko‘raylik.
Agar

standart normal qonun zichlik funksiyasi bo‘lsa,
,
bo‘ladi va (*) formula yordamida

topiladi.
Demak va parametrli normal qonun bilan taqsimlangan ikkita bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisi, parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor bo‘lar ekan.