11-Ma’ruza. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari. Reja

Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar.

11-Ma’ruza.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar. Tasodifiy
miqdorlarning funksiyalari.


Reja:

1. 
   Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar.
   
2. 
   Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari
   

Tayanch so‘z va iboralar: tasodifiy vektor, ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdor, vektorning taqsimoti, birgalikdagi taqsimot funksiya, zichlik funksiya, polinomial taqsimot, ko‘p o‘lchovli normal taqsimot.

ehtimollik fazosida tasodifiy miqdorlarni qaraymiz. Har bir ga bu tasodifiy miqdorlar n-o‘lchovli vektor ni mos qo‘yadi. tasodifiy miqdorlar orqali berilgan akslantirish tasodifiy vektor yoki ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdor deyiladi.

akslantirishni ni fazoga o‘lchovli akslantirish sifatida qarash mumkin, bu yerda – dagi Borel to‘plamlari -algebrasi. Shuning uchun iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun vektorning taqsimoti deb ataluvchi funksiya aniqlangan.
funksiya tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deb ataladi.
Тasodifiy vektor taqsimot funksiyasining ba’zi хossalarini keltiramiz:

Limitlar oхirgi argument bo‘yicha olinganligi katta ahamiyatga ega emas, chunki tasodifiy miqdorlarni har doim qayta nomerlash mumkin.
taqsimot funksiyasi taqsimotni bir qiymatli aniqlashini ko‘rish qiyin emas.
Хuddi bir o‘lchovli holga o‘хshab, agar tasodifiy vektor komponentalari ko‘pi bilan sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qilsa, u holda tasodifiy vektorlarning taqsimoti diskret tipga tegishli deymiz.
Agarda iхtiyoriy Borel to‘plami uchun

bo‘lsa, bu yerda , u holda tasodifiy vektorlarning taqsimoti absolyut uzluksiz tipga tegishli deymiz.
Bu ta’rifni unga ekvivalent bo‘lgan

ko‘rinishga almashtirish mumkin.
Yuqoridagi funksiya taqsimotning zichligi (zichlik funksiyasi) yoki birgalikdagi taqsimotining zichligi deyiladi. Uning uchun deyarli hamma yerda

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Ehtimolliklar nazariyasining muhim tushunchasi bo‘lgan hodisalarning bog‘liqsizligi o‘z ma’nosini tasodifiy miqdorlar uchun ham saqlab qoladi. Hodisalar bog‘liqsizligiga mos ravishda quyidagini aytish mumkin: Agarda to‘g‘ri chiziqdagi iхtiyoriy Borel to‘plamlari uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deyiladi.
Buni taqsimot funksiyalari tilida quyidagicha aytish mumkin:
tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uhun ixtiyoriy x_i larda

tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. Bu yerda – tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir.
Agar bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar mos ravishda taqsimot zichliklariga ega bo‘lsalar, u holda n o‘lchovli tasodifiy miqdor ko‘paytma bilan ifodalanadigan taqsimot zichligiga ega bo‘ladi.
Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning taqsimotlariga misollar keltiramiz.
1-misol. Polinomial taqsimot. Agar -o‘lchovli diskret tasodifiy vektor uchun bo‘lib
, (11.1)
bo‘lsa, u holda vektor parametrli polinomial qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy vektor va ehtimolliklarga parametrli polinomial taqsimot deyiladi. (11.1) tenglikning o‘ng tomoni polinomning sonlarning darajalari bo‘yicha yoyilmasini umumiy holidan iborat bo‘lgani sababli, yuqoridagi taqsimotni polinomial taqsimot deb atalishi tabiiydir.
Agar bo‘lsa, (1) polinomial taqsimot -parametrli binomial taqsimotga aylanadi.
2-misol (Ko‘p o‘lchovli normal taqsimot). – o‘lchovli vektor va birorta o‘lchovli, musbat aniqlangan, simmetrik matritsa bo‘lsin. R musbat aniqlangan matritsa bo‘lgani uchun, uning teskari matritsasi mavjud.
Zichlik funksiyasi

ko‘rinishga ega bo‘lgan – o‘lchovli tasodifiy vektor parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy vektor deyiladi. Bu yerda orqali matritsaning determinanti belgilangan.
Xususan 2-o‘lchovli va parametrlari bo‘lgan normal taqsimotni ko‘raylik. Buning uchun sonli vektor va

simmetrik va musbat aniqlangan 2x2-o‘lchovli matritsani ko‘ramiz. R matritsani determinanti

bo‘lgani uchun

va A matritsani determinanti

bo‘ladi. Bu holda zichlik funksiya


ko‘rinishga ega bo‘ladi.