11-Amaliy: Kuchlanish tenzorining invariantlari, bosh qiymatlari va bosh yo’nalishlari

11-Amaliy: Kuchlanish tenzorining invariantlari, bosh qiymatlari va bosh yo’nalishlari.
Matn
Bizga ma’lumki koordinatalar sistemasini almashtirishda o’zgarmasdan qoladigan parametrlarga invariantlar deyiladi. Kuchlanish tenzorlarida bunday parametrlar uchta bo’lib, ular quyidagicha aniqlanadi
. (1)
Koordinatalarni burish natijasida ba’zi kuchlanish tenzori komponentalarini faqat diagonal ko’rinishga keltirish mumkin. Bu diagonaldagi komponentalar quyidagi tenglamaning ildizlaridan iborat bo’ladi
. (2)
Bu tenglama yechimlari kuchlanish tenzorining bosh qiymatlari (komponentalari) deyiladi.
Agar (1) tenglamadagu determinantni yoyib yozsak quyidagi tenglamani hosil qilamiz
, (3)
Bu yerda kuchlanish tenzori invariantlari.
Koordinatalarni burish natijasida hosil bo’lgan yangi koordinata o’qlarining eski koordinata o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklarining kosinuslari esa bosh yo’nalishlar (koordinatalar) deyiladi.
Bosh yo’nalishlar quyidagi tenglamalardan topiladi
(4)

Masala. Tutash muhitning nuqtasida kuchlanish tenzori berilgan. Kuchlanish tenzorining bosh qiymatlari va unga mos bosh yo’nalishlarini, hamda invariantlarini toping.

.

Yechish. (7) formula yordamida berilgan kuchlanish tenzorining bosh qiymatlarini topamiz

Bu tenglama yechimlari
Demak kuchlanish tenzorini almashtirirsh natijasida hosil bo’lgan tenzorning diagonal komponentalari 1, 2, 4 dan iborat. Qolgan komponentalar esa ) ga teng.
Yuqoridagi tenglamada determinantni yoyib chiqib quyidagi tenglamani hosil qilamiz
.
(3) ga kora kuchlanish tenzorining invariantlari
.
Topilgan bosh qiymatlarga mos bosh yo’nalishlar (o’qlar) ni topamiz
uchun

uchun



uchun

Masalada topish so’ralganlar topildi.
MAKSIMAL VA MINIMAL URINMA KUCHLANISHLAR. MOR DOIRASI
Matn
Kuchlanish tenzorining bosh qiymatlari uchun munosabat o’rinli bo’lsin. U holda radiuslari quyidagilardan iborat bo’lgan doiralarni chizamiz
(1)

Chizmadan ko’rinadiki, doiralar urinish nuqtasida urinma kuchlanish minimal qiymatga erishadi. Eng katta doiraning yuqori nuqtasida esa maksimal qiymatga erishadi.

Masala. Biror nuqtadagi kuchlangalik holat koordinatalar sistemasida quyidagicha berilgan. Normali bo’lgan yuzadagi kuchlanish vektori komponentalarini toping. Olingan natijalarni Mor doirasi yordamida tekshiring

Yechish. Kuchlanish vektori komponentalarini topish formulasiga ko’ra quyidagini topamiz

Demak kuchlanish vektori .

Normal kuchlanish
,
Urinma kuchlanish
.
Berilgan kuchlanish tenzori uchun bosh kuchlanishlar

Yangi va eski koordinatalar orasidagi bog’lanish

TOPSHIRIQLAR

Darsda 2.24, 2.47 [3],
Uyga vazifa 2.26,2.48 [3]


Darsda 2.15,2.17,2.19 [3],
Uyga vazifa 2.16,2.18,2.20 [3]
Adaboyotlar

1. 
   Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1973 г. В 2-х томах.
   
2. 
   «Механика сплошной среды в примерах и задачах». Учебное пособие. У.Г.У. Свердловск, 1979 г.
   
3. 
   Мейз. Дж. Теория и задачи механики сплошной среды.- М.: Мир, 1974 г.
   
4. 
   Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 310 с.
   
5. 
   Механика сплошных сред в задачах. В двух томах. М.: «Московский лицей», 1996. Под ред. М.Э. Эглит.