11- ma’ruza Darsning maqsadi

11- ma’ruza Darsning maqsadi

Mavzu: So’nuvchi tebranishlar.

Elastik yoki kvazielastik kuchdan boshqa kuchlar tasir etmagan holda moddiy nuqta amplitudasi doimiy (A=const) bo’lgan va so’nmaydigan garmonik tebranma harakat qiladi. Real sharoitda har qanday tebranishning sodir bo’lish jarayonida energiyaning bir qismi muhit qarshiligini yengishga, tayanch va osmalardagi ishqalanishga sarflanadi. Natijada tebranuvchi moddiy nuqtaning mexanik energiyasi uzluksiz ravishda kamayib boradi, ya’ni tebrinish so’nib boradi.

Kichik tebranishlarda tebranuvchi moddiy nuqtaning tezligi kichik, kichik tezliklarda esa qarshilik kuchi tezlikka proporsional:

F_ч  r
 rx  r ^dx
dt

bu yerda: r – qarshilik koeffitsenti, (-) ishora F_a bilan ^ qarama-qarshi yo’nalganligini bildiradi.
Тebranayotgan jism (moddiy nuqta) uchun Nyutonning ikkinchi qonunining tenglamasini yozamiz.
F  ma

d ²x
^m dt ²
mx  kx  rx
 kx  r ^dx
dt

(1)

1. 
   tenglamaning ikkita tomonini m ga bo’lsak va
   

;
^{k  r} 0
m
^r  2
m

belgilanishdan foydalansak, quyidagi munosabatni hosil qilamiz,

d ²x _
dt
_2 dx
dt
^{  2}0 ^{ 0}
(2)

r=0 bo’lganda, ya’ni muhitning qarshiligi bo’lmagandagi ^₀
chastotaga sistemaning hususiy tebranish chostatasi deyiladi.

2. 
   tenglamaning yechimi
   

  ₀
bo’lgan holda quyidagicha yeziladi;

0
X  A l^t cos(
₀t  )

3. 
   

So’nuvchi tebranish chostata.

^{ } (4) ga teng
(3) tenglamaning grafigi 1-rasmda keltirilgan.

Тebranishlarning so’nish tezligi so’nish koeffitsienti deb ataluvchi

  ^r
2m
kattalik bilan aniqlanadi.

Amplituda ^l marta kamayishi uchun ketgan ^ vaqtni aniqlaydi.

Тa’rifga binoan
_е к
^{ е1}, bunda. Demak so’nish koeffiatsenti kattalik

jihatidan amplituda ye marta kamayishi uchun ketgan vaqtning teskari qiymatiga teng ekan.
So’nuvchi tebranishlarning davri

_{T } 2
(5)

(5) dan ko’rinadiki, so’nish kozffitsiyenti ortishi bilan tebranishlar davri ortadi.

1. 
   rasmdan ko’rinadiki A`, A``, A``` lar geometrik progressiya hosil qiladi.
   

Haqiqatdan ham, agar
A`
A`₀
^e ^t bo’lsa, u vaqtda,

A``
_{A e} (t  )
_{ Ae}T _;
A```
_{A e}  (t 2 )

0

1

0
Bir davrga farq qiladigan vaqt momenlariga tegishli amplitudalarning nisbati quyidagiga teng bo’ladi;

A(t)



A(t  T )
_{ e}t

Bu nisbatan so’nish dikrementi, uning logarifmi esa so’nishning logarifmik dekrementa deyiladi:

A  ln
At A(t  T )
_ 

 T

t

buni e’tiborga olgan holda

A  A₀l ^T
Amplituda marta o’zgarishi uchun ketgan vaqt ichida sistema

N_e  _T

tebranib ulguradi.

Majburiy tebranishlar.

Тebranuvchi sistemada davriy o’zgarib turuvchi tashqi kuch ta’sirida sodir bo’luvchi tebranishlarni ko’raylik. Majbur etuvchi kuch vaqt bo’yicha garmonik;

qonun bilan o’zgaradi.

F  F₀ cost

Sistemada kvazielastik kuch, qarshilik kuchi hamda majbur etuvchi kuch tasir etayotganligini etiborga olib, tebranishlarni yetarli darajada kichik hisoblab, harakat tenglamasini yozamiz:

d ²x
^m dt²
bu tenglamani m ga bo’lib,
 kx  r ^dx
dt

• 
  F₀ cost
  

hamda
f₀ 
F_{0 ,}
m
  ^r ,
2m
₀ 

larni e’tiborga olib tenglamani quyidagi ko’rinishda yozamiz:

2
d ²x _{ }
dt²
dx _{ }
dt
²0 ^{x }
f₀ cost
(1)

(1) tenglama, bir jinsli bo’lmagan tenglamadir, bu tenglamaning umumiy yechimi, bir jinsli tenglamalarning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo’lmagan tenglamalarning xususiy yechimi yig’indisiga teng.
Bir qator matematik amallar bajarib (1) tenglamaning izlanayotgan
yechimi ^{X  Acos(t  )} munosabat bilan aniqlanishini topamiz.
Bundagi A - majburiy tebranishlar amplitudasi, uning qiymati

A  ^F^0 ^m^(^^20 ^^^2^)^2^^4^^20 majburiy tebranish fazasi tg  ^2^ ^^20 ^^^2

2. 
   rasmdan ko’rinadiki, ^ ning biror oraliq qiymatida amplituda maksimal qiymatga erishadi. Bu hodisa, ya’ni majbur etuvchi kuch chastotasining biror aniq qiymatida majburiy tebranishlar amplitudasining keskin ortib ketishi rezonans xodisasi deb ataladi.
   

bu qiymatini
^рез

^Aрез ^

chastotaning

F₀

qo’yib , rezonans amplituda qiymatini topamiz

F
A_рез  ⁰

Demak, rezonas chastota va rezonans amplituda ^ ga bog’liq. ^ ning nihoyat kichik qiymatlari uchun majbur etuvchi kuchning chastotasi xususiy tebranishlar chastotasiga teng bo’lganda rezonans hodisasi amalga oshadi.

^{f 2}0
A 

funksiyaning ^ parametrining turli qiymatlariga tegishli

2-rasmda tasvirlangan grafiklari to’plami rezonans chiziklari deyiladi.