100 лет со дня рождения

A
-множества такое указание легко проходит, а конструкция совер-
шенного подмножества в произвольном 
A
-множестве строится на 
той же идее. Таким образом возникла весьма распространённая 
точка зрения о том, что трудности, связанные с построением со-
вершенного подмножества в произвольном несчётном 
CA
-множест-
ве, имеют то же происхождение, что и трудность эффективного 
ука зания точек в произвольном непустом 
CA
-множестве.
И вот появилась работа П.С. Новикова, в которой им был 
построен эффективный трансфинитный процесс, позволяющий 

---

124
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
ука зать точку в произвольном непустом 
CA
-множестве, отправля-
ясь от решета (или 
A
-операции), составленного из отрезков, по-
средством которого это 
CA
-множество задано. При этом оказалось, 
что никаких подступов к построению совершенного подмножества 
в несчётном 
CA
-множестве эта конструкция не давала [5]. Зато 
П.С. Новиков получил следующую редукцию проблемы существо-
вания совершенного ядра в 
CA
-множестве. Он установил, что либо 
существует несчётное 
CA
-множество, у которого все конституанты 
содержат не более чем по одной точке, либо, если это не так, то 
всякое несчётное 
CA
-множество содержит совершенное подмно-
жество [16].
Другими словами, если в каждом несчётном 
CA
-множестве 
можно указать две точки, принадлежащие к одной и той же кон-
ституанте, то из этого следует, что в каждом несчётном 
CA
-мно-
жестве имеется совершенное ядро. В этой последней конструкции 
принцип сравнения индексов играл весьма существенную роль. 
Отправляясь от процесса указания точек в непустом 
CA
-множестве 
и опираясь на принцип сравнения индексов, П.С. Новиков пока-
зал, что плоское 
CA
-множество униформизируется посредством 
A
2
-множества (этот результат остался неопубликованным). В даль-
нейшем, используя те же средства, но проделав оценку более тща-
тельно, японский математик М. Кондо показал, что всякое плоское 
CA
-множество униформизируется посредством 
CA
-множества [24].
Примерно в то же время П.С. Новиков получил замечательное 
обобщение принципа сравнения индексов на случай 
A-
операций 
над множествами произвольной природы. Пусть 
K
–
некоторый 
класс множеств, инвариантный относительно конечных пересече-
ний, а 
M
–
максимальный подкласс класса 
K
, инвариантный отно-
сительно взятия дополнения. Пусть 
β
1
(
x
) и 
β
2
(
x
) суть два внешних 
трансфинитных индекса, определённых 
A
-операциями: первый 
–
над множествами класса 
K
, второй 
–
над множествами класса 
M
. 
Тогда множество точек, в которых 
β
1
(
x
) 
≥
β
2
(
x
), может быть пред-
ставлено посредством 
A
-операции над множествами класса 
K
. 
Из этого результата вытекают 1-я и 2-я теоремы отделимости для 
C
-мно жеств класса 
α
, аналогичные тем, которые известны для 
A
-мно жеств, а также теорема неотделимости для дополнений к 
C
-множествам класса 
α
, вполне аналогичная теореме о неотдели-
мости