100 лет со дня рождения

О РАБОТАХ П.С. НОВИКОВА
В ОБЛАСТИ ДЕСКРИПТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Настоящая статья написана в расчёте на читателей, хорошо 
знакомых с дескриптивной теорией множеств. В то же время рабо-
ты П.С. Новикова представляют интерес для широкого круга ма-
тематиков. Поэтому в конце статьи помещено дополнение, где 
даются определения использованных в ней понятий, а также фор-
мулируются некоторые результаты, на которые данная статья опи-
рается.
Пётр Сергеевич Новиков учился в МГУ в то время, когда в 
расцвете своей творческой активности находился Н.Н. 
Лузин. 
Очень скоро П.С. Новиков вошёл в коллектив, руководимый 
Н.Н. Лузиным, и занял в нем чрезвычайно заметное место. Под 
влиянием Н.Н. 
Лузина первый период научной деятельности 
П.С. Новикова был посвящён дескриптивной теории множеств. 
Он продолжался от студенческих лет почти до самой Отечествен-
ной войны. Интересы П.С. Новикова были всегда направлены на 
наиболее принципиальные проблемы теории множеств, внутрен-
ний смысл которых состоял в том, чтобы понять, каковы возмож-
ности человеческого интеллекта в познании актуальной бесконеч-
ности. Работа в области дескриптивной теории множеств и функ-
ций была начата французскими математиками Борелем, Бэром и 
Лебегом на рубеже XIX
–
XX веков. Ими была разработана в основ-
ных чертах теория 
B-
множеств и 
B
-функций. В результате этих ра-
бот сложилось впечатление, что для нужд анализа этих объектов 
достаточно. Однако вопрос о природе неявных 
B
-функций оста-
вался открытым
1
. В дальнейшем Лузин, Суслин и Александров по-
казали, что операции проектирования или непрерывного преобра-
зования выводят за пределы 
B
-множеств, так же как операция верх-
него предела по непрерывному параметру выводит за пределы 
B
-функций. Отправляясь от этого, они открыли 
A
-множества и в 
первом приближении построили их теорию [3]. Однако для реше-
1
Лебегом было объявлено «решение», основанное на ошибочной лем-
ме о том, что проекция 
B
-множества есть 
B
-множество. Из этого следова-
ло, что всякая неявная 
B
-функция униформизируется 
B
-функцией.

---

122
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
ния вопроса о природе неявных 
B
-функций этих средств оказалось 
недостаточно. В то же время вопрос о природе неявных 
B
-функ-
ций имел в тот период принципиальное значение. В самом деле 
операция континуального верхнего предела в вопросах анализа 
употребляется сравнительно редко. Можно представить себе неко-
торый ограниченный анализ, в котором он запрещён и который 
тем не менее охватывает всю классическую проблематику анализа. 
Однако исключить из рассмотрения неявные функции совершенно 
невозможно.
П.С. Новиков построил пример неявной 
B
-функции, которая 
не униформизируется посредством явной 
B
-функции. Этот пример 
явился конструкцией совершенно нового типа. В этой конструк-
ции был впервые получен принцип сравнения индексов для 
A
-мно-
жеств:
Если 
β
1
(
x
) и 
β
2
(
x
) 
два внешних трансфинитных индекса, опреде-
лённых решётами, составленными из B
-
множеств, то множество 
точек, где 
β
1
(
x
) 
≥
β
2
(
x
),