106
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
3) существуют два непересекающихся
A
2
-множества, неотдели-
мые посредством
B
2
-множеств.
Заметим, что
A
2
-множествами называются проекции
СА
-мно-
жеств, дополнения к
A
2
-множествам называются
CA
2
-множества-
ми, а
B
2
-множества
суть те множества, которые одновременно яв-
ляются
A
2
-множествами и
CA
2
-множествами.
Таким образом, законы отделимости во втором классе проек-
тивных множеств оказались инвертированными по сравнению с
законами отделимости в первом классе проективных множеств.
Это обстоятельство явилось большой неожиданностью.
Долгое время не поддавался решению вопрос об эффективной
униформизации плоского
СА
-множества. Основная трудность тут
заключалась в том, что не был известен процесс указания точки в
непустом
СА
-множестве, заданном посредством решета или
A
-опе-
рации. Такой процесс был найден Петром Сергеевичем в 1935 г.
Этот результат произвёл очень большое впечатление на математи-
ков, интересующихся дескриптивной теорией множеств.
Таким об-
разом, была найдена процедура построения униформизирующего
множества для любого плоского множества. Впоследствии япон-
ский математик Кондо установил, что это униформизирующее
множество само является
СА
-множеством.
Давно было известно, что проекция
B
-множества может не
быть
В-
множеством, но всегда есть
A
-множество. С
другой сторо-
ны, проекция униформного
B
-множества всегда есть
B
-множество.
В связи с этим Петра Сергеевича заинтересовал вопрос о том, при
каких условиях на прообразы точек проекция
B
-множества остает-
ся
B
-множеством. Он установил, что это верно, если прообразы
точек компактны или не более чем счётны. Дальнейшие обобще-
ния этих результатов содержатся в работах
японского математика
Кунугуи и ученика Петра Сергеевича В.Я. Арсенина, доказавшего,
что это верно в случае, когда прообразы точек абсолютные
F
σ
.
Для
абсолютных
G
δ
это уже не имеет места. К тому же кругу идей отно-
сится следующий результат Петра Сергеевича: если плоское
B
-мно-
жество таково, что при его проектировании на одну из осей прооб-
разы точек не более чем счётны, то это множество можно предста-
вить как объединение не более чем счётного набора униформных
B
-множеств.
В поисках новых подходов к
уточнению понятия эффектив-
ности в теории множеств Пётр Сергеевич в 1939 г. ввёл понятие
эф фективно-несчётного множества в бэровском пространстве.
Мно жество точек бэровского пространства называется эффектив-
но-несчётным, если каждой последовательности точек этого мно-
107
Пётр Сергеевич Новиков
жества можно поставить в соответствие точку из того же множест-
ва, но не принадлежащую данной последовательности, так чтобы
лю бой начальный отрезок арифметического разложения этой точ-
ки эффективно определялся конечным числом начальных отрезков
арифметических разложений точек рассматриваемой последователь-
ности. Пётр
Сергеевич доказал, что всякое эффективно-несчётное
множество содержит совершенное подмножество и поэтому имеет
мощность континуума. Дальнейшие исследования в этом направ-
лении проводили его ученики А.А. Ляпунов и Я.Л. Крейнин.
Среди работ Петра Сергеевича несколько особняком стоит его
работа об обратной задаче потенциала, опубликованная в 1938 г.
Речь идет о задаче определения формы притягивающего тела по
заданным значениям его внешнего потенциала при условии, что
плотность распределения масс известна. Один из основных вопро-
сов, возникающих при исследовании этой задачи,
–
вопрос о един-
ственности её решения. Пётр Сергеевич доказал,
что два тела оди-
наковой постоянной плотности, звёздные относительно общей
внутренней точки и имеющие одинаковый внешний потенциал,
совпадают. Различные обобщения этого результата позже были по-
лучены в работах других авторов, в том числе учеников Петра Сер-
геевича Ю.А. Шашкина и В.П. Симонова.
Решив ряд важных и трудных проблем дескриптивной теории
множеств, Пётр Сергеевич вплотную подошел к границам приме-
нимости теоретико-множественных методов. Наряду с континуум-
проблемой к этому времени обозначились
другие проблемы де-
скриптивной теории множеств, относительно которых Н.Н. Лузин
высказывал гипотезу об их неразрешимости средствами теории
мно жеств. К таким проблемам относились проблема мощности
СА
-множеств и проблема измеримости проективных множеств.
Это обстоятельство побудило Петра Сергеевича заняться вопроса-
ми обоснования математики и математической логикой.
После того как К. Гёдель установил непротиворечивость в ак-
сиоматической теории множеств континуум-гипотезы, Пётр Сер-
геевич доказал непротиворечивость следующих утверждений де-
скриптивной теории множеств:
1) существует
Do'stlaringiz bilan baham: 
