100 лет со дня рождения

B
-множеств. Лебегу удалось построить искус-
ственный и очень сложный пример множества, не являющегося 
B
-множеством, однако ценность таких построений для математики 
была совершенно не ясна. Примерно в то же время появился в те-
ории множеств целый ряд иных, чрезвычайно своеобразных по-
строений, основанных на аксиоме произвольного выбора Цермело, 
которые постоянно выводили за пределы 
B
-множеств и тогда при-
водили к результатам большого значения. Но эти построения столь 
сильно отличались от общепринятых в математике способов рас-
суждения, что были объявлены многими учёными лишенными ре-
ального смысла. Возникло своеобразное положение, характерное 
для моментов внутренних кризисов в науке, когда оказалось невоз-
можным придти к единому мнению по поводу смысла некоторых 
рассуждений. Настоятельно ощущалась необходимость коренного 
пересмотра оснований теории множеств. В то же время, почва для 
такого пересмотра ещё не была подготовлена. Ещё не была найде-
на та точка зрения, которая могла бы внести ясность в эти слож-
ные вопросы. Всё это указывало на то, что круг вопросов, относя-
щихся к дескриптивной теории множеств, имеет большое, принци-
пиальное значение. 
Работа Н.Н. Лузина и созданной им школы в короткий срок 
совершенно преобразила эту область. В своем семинаре в Москов-
ском Университете Н.Н. Лузин поставил вопросы о дальнейшем 
изучении свойств 
B
-множеств, в частности, вопросы об их мощ-
ности, а также о значении построения множеств, не являющихся 
B
-множествами, такими средствами, которые не могли бы вызвать 
разногласий. Оба эти вопроса были успешно разрешены ученика-
ми Н.Н. Лузина. П.С. Александров доказал, что всякое несчётное 
B
-множество содержит совершенное подмножество и, следователь-
но, имеет мощность континуума. С помощью аппарата, построен-
ного для получения этого результата, М.Я. Суслин построил класс 
множеств, более обширный, чем класс 
B
-множеств. Они были на-
званы 
A
-множествами. Их часто называют также аналитическими 
множествами, или Суслинскими множествами. 
Вскоре было установлено, что изучение 
A
-множеств отнюдь не 
является каким-то узким, изолированным вопросом. От них про-

---

42
II. А.А. ЛЯПУНОВ О СВОИХ УЧИТЕЛЯХ, СОРАТНИКАХ, УЧЕНИКАХ
тянулись нити в самые разнообразные области математики 
–
преж-
де всего, внутри теории функций, а здесь 
–
к вопросам оснований 
математики, математической логике, топологии и т. п. Н.Н. Лузин 
был инициатором, деятельным участником и руководителем всех 
основных работ этого направления не только у нас, но и за грани-
цей. Самому Н.Н. Лузину принадлежит открытие новых определе-
ний 
A
-множеств, а также 
B
-множеств, замечательных по своей 
простоте и обозримости, и ясно показывающих принципиальную 
роль этих понятий: 
A
-множества суть множества значений функ-
ций, имеющих лишь счётные множества точек разрыва; 
B
-множест-
ва суть множества значений функций, имеющих лишь счётное 
мно жество точек разрыва и принимающих различные значения во 
вся ких двух различных точках. Основные результаты теории 
A
-мно-
жеств были получены либо самим Н.Н. Лузиным, либо его много-
численными учениками. Очень часто фундаментальные результаты 
были получены как ответы на вопросы, поставленные Н.Н. Лузи-
ным. Очень большую роль в развитии теории 
А-
множеств сыграла 
операция расчёта, введенная
 
Н.Н. Лузиным и позволившая при-
дать всей теории наглядную геометрическую форму, полную за-
конченность и большое изящество. Н.Н. Лузин показал, что всякое 
А-
множество может быть получено операцией решета исходя из 
отрезков, и нашёл необходимый и достаточный признак, отмечаю-
щий решета, определяющие