10. Sonli qator tushunchasi

2⁰. YAqinlashuvchi qatorlarning xossalari. Aytaylik, biror
(1)
qator berilgan bo‘lsin.
Ushbu
(2)
qator (bunda tayinlangan natural son) (1) qatorning qoldig‘i deyiladi.
1-xossa. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (2) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va aksincha; (2) qatorning yaqinla-shuvchi bo‘lishidan (1) qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
◄ (1) qatorning qismiy yig‘indisi

(2) qatorning qismiy yig‘indisi

lar uchun
(3)
bo‘ladi.
Aytaylik, (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Unda da chekli limitga ega bo‘lib, (3) munosabatga ko‘ra da ham chekli limitga ega bo‘ladi. Demak, (2) qator yaqinlashuvchi.
Aytaylik, (2) qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Unda da chekli limitga ega bo‘ladi. YAna (3) munosabatga ko‘ra da ham chekli limitga ega bo‘ladi. Demak, (1) qator yaqinlashuvchi. ►
2-xossa. Agar

qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi ga teng bo‘lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ga teng bo‘ladi, bunda bo‘lgan o‘zgarmas son.
3-xossa. Agar
,

qatorlar yaqinlashuvchi bo‘lib, ularning yig‘indisi mos ravishda va ga teng bo‘lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ga teng bo‘ladi.
2) va 3)- xossalarning isboti sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvchiligi ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
4-xossa. Agar

qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, da nolga intiladi:

◄ Aytaylik, qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi ga teng bo‘lsin: Ta’rifga binoan
.
Ravshanki,

bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz:
. ►
Eslatma. Qatorning umumiy hadi ning da nolga intilishidan uning yaqinlashuvchi bo‘lishi har doim kelib chiqavermaydi. Masalan, ushbu

qatorning umumiy hadi bo‘lib, u da nolga intiladi. Ammo bu qator uzoqlashuvchi , chunki

ketma-ketlik da ga intiladi:
.
YUqorida keltirilgan 4)- xossa qator yaqinlashuvchi bo‘lishining zaruriy shartini ifodalaydi.
5-xossa. Aytaylik,
(1)
qator berilgan bo‘lsin. Bu qatorning hadlarini guruxlab quyidagi
(4)
qatorni hosil qilamiz, bunda

bo‘lib, ketma-ketlik natural sonlar ketma-ketligi ning qismiy ketma-ketligi.
Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi ga teng bo‘lsa, u holda (4) qator ham yaqinlashuvchi va yig‘indisi bo‘ladi.
◄ (1) qator yaqinlashuvchi bo‘lib, yigindisi ga teng bo‘lsin. U holda
da
bo‘ladi.
Aytaylik, (4) qatorning qismiy yig‘indilaridan iborat ketma-ketlik bo‘lsin Ravshanki, bu ketma-ketlik ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi bo‘ladi. Ma’lum teoremaga ko‘ra
da
bo‘ladi. Demak, (4) qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ga teng. ►