10. Сонли қатор тушунчаси

4-хосса. Агар

қатор яқинлашувчи бўлса, да нолга интилади:

Эслатма. Қаторнинг умумий ҳади нинг да нолга интилишидан унинг яқинлашувчи бўлиши ҳар доим келиб чиқавермайди. Масалан, ушбу

қаторнинг умумий ҳади бўлиб, у да нолга интилади. Аммо бу қатор узоқлашувчи , чунки

кетма-кетлик да га интилади:
.
Юқорида келтирилган 4)- хосса қатор яқинлашувчи бўлишининг зарурий шартини ифодалайди.
3⁰. Қаторнинг яқинлашувчилиги. Коши теоремаси.
Фараз қилайлик,

қатор берилган бўлсин. Маълумки, бу қаторнинг яқинлашув-чилиги ушбу

кетма-кетликнинг да чекли лимитга эга бўлишидан иборат.
Сонлар кетма-кетлигининг чекли лимитга эга бўлиши ҳақида Коши теоремаси, яъни кетма-кетликнинг да чекли лимитга эга бўлиши учун
да
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли экани келти-рилган эди.
Бу тушунча ва тасдиқдан қатор яқинлашувчилигини ифодалайдиган қуйидаги теорема келиб чиқади.
Теорема (Коши теоремаси). қатор яқинлашувчи бўлиши учун сон олинганда ҳам шундай топилиб, ва бўлганда
(4)
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Эслатма. Агар қатор учун (4) шарт бажарилмаса, яъни

(5)
бўлса, у ҳолда қатор узоқлашувчи бўлади.
3-мисол. Ушбу
(6)
қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ ва ихтиёрий учун бўлганда

бўлади.
(5) шартга кўра (6) қатор узоқлашувчи бўлади. ►
Одатда, (6) қатор гармоник қатор дейилади. Демак, гармоник қатор узоқлашувчи қатор.
Мусбат ҳадли қаторлар ва уларнинг яқинлашувчилиги.
Фараз қилайлик,
(7)
қатор берилган бўлсин.
Агар бу қаторда бўлса, (7) мусбат ҳадли қатор дейилади.
Мусбат ҳадли қаторларда, уларнинг қисмий йиғинди-ларидан иборат кетма-кетлик ўсувчи кетма-кетлик бўлади. Ҳақиқатан ҳам,
.
Теорема. Мусбат ҳадли

қаторнинг яқинлашувчи бўлиши учун

кетма-кетликнинг юқоридан чегараланган бўлиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. (7) қатор яқинлашувчи бўлсин. Унда да кетма-кетлик чекли лимитга эга бўлади. Яқинлашувчи кетма-кетликнинг хоссасига кўра чегараланган, жумладан юқоридан чегараланган бўлади.
Етарлилиги. кетма-кетлик юқоридан чегараланган бўлсин. Унда монотон кетма-кетликнинг лимити ҳақидаги теоремага кўра кетма-кетлик да чекли лимитга эга бўлади. Демак, (7) қатор яқинлашувчи. ►
Эслатма. Агар

мусбат ҳадли қаторда, унинг қисмий йиғиндиларидан иборат кетма-кетлик юқоридан чегараланмаган бўлса, у ҳолда қатор узоқлашувчи бўлади.