10. Qatorning absolyut va shartli yaqinlashuvchiligi

6—ma’ruza. Qatorlarni ko’paytirish

Bizga berilgan

va

qatorlar orqali hosil qilingan ushbu

qatorni berilgan va qatorlarning Koshi bo’yicha ko’paytmasi deyiladi.
11.12–misol. Ushbu va geometrik qatorlarning ko’paytmasi topilsin.
◄ Ta’rifga ko’ra ko’paytma qator

ga teng bo’lib, qator yaqinlashuvchi va yig’indisi berilgan qatorlarning yig’indilari ko’paytmasiga tengdir. Bunday holning ro’y berishi qatorni va qatorlarning ko’paytmasi deb ta’riflash manoligiga ishora bo’lib, bundan tashqari tasodifiy emasdir.
Teorema. Absolyut yaqinlashuvchi va qatorlarning Koshi bo’yicha ko’paytmasi absolyut yaqinlashuvchi qator bo’lib, yig’indisi va qatorlar yig’indilarining ko’paytmasiga teng.
◄Quyidagi cheksiz jadvalni tuzaylik:











◄ Belgilashlar kiritaylik :

Avval va lar yaqinlashuvchi musbat qatorlar bo’lgan holni qaraylik.
Qaralayotgan holda jadvalning elementlari musbat bo’lib, bundan tash-qari ko’paytma qatorning hadlari musbat va chiziqlar bilan tutashtirilgan hadlar yig’indilaridan iboratdir. U holda osongina ko’ramizki,

ya’ni musbat qatorning qismiy yig’indilari ketma—ketligi yuqoridan chegaralangandir. Bu esa ning yaqinlashuvchiligini, ya’ni ning
mavjudligini ko’rsatadi. Yana jadvalga murojat qilsak,

bo’lib, bu tengsizliklarga ko’ra va limit mavjud bo’lganda

ekanligidan aniqlaymizki,

bo’ladi. Shu bilan teoremaga qaralayotgan holda isbotlandi.
Endi va qatorlar ixtiyoriy absolyut yaqinlashuvchi bo’lgan holni qaraylik. Belgilashlarimizga ko’ra

bo’lib, tengsizlikni o’ng tomonida turgan yig’indi yaqinlashuvchi va qatorlarning Koshi bo’yicha ko’paytmasining — hadidir. Bunday ( musbat) hadlardan tuzilgan ko’paytma qatorning yaqinlashuvchiligini yuqorida ko’rib o’tdik. Shu sababli qator absolyut yaqinlashuvchidir. Bulardan esa o’z navbatida va limitlarning mavjudligi kelib chiqadi. Yana jadvaldan aniqlaymizki,

bo’ladi . Bu tengsizliklarga ko’ra tenglikdan
yoki
bo’ladi.
Aniqlashimizga ko’ra , mavjudligidan

bo’lib, shuni isbotlamoqchi edik. Shu bilan teorema to’la isbotlandi. ►
Isbotlangan teorema shartlarini biroz kuchsizlantirish mumkin.
Masalan, qatorlardan birini yaqinlashuvchi va ikkinchisini absolyut yaqinlashuvchi deb olinganida ham Koshi manosidagi ko’paytma qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Ammo ikkala qator ham shartli yaqinlashuvchi bo’lganida ularning Koshi bo’yicha ko’paytmasini bildiruvchi qator uzoqla-shishi mumkin.