10-mavzu. Diffеrеnsiаl tеnglаmаlar nazariyasi

Yechish. Bir jinsli bo'lamagan yechimi topish uchun biz avval keltirilgan differensial tenglamani(RE) qaraymiz. Yuqorida berilgan tenglama uchun keltirilgan tenglama quyidagicha
_(RE)
Oldingi mavzuda keltirilgan ixtiyoriy bir jinsli tenglamaning yechimidan foydalanib,
bundan
keltirilgan differensial tenglamaning (RE) bir jinsli yechimi quyidagicha bo'ladi
(CF)
Agar o'suvchi y funksiya o'zining muvozanat qiymatiga erishsa va u qiymatini o'zgartirmasa, unda biz aniq yechimi quyidagicha hosil qilamiz

Hosil bo'lgan bu y qiymatini K o'zgarmas bilan belgilab olamiz. Berilgan differensial tenglama uchun xususiy yechim quyidagi ko'rinishda izlanadi

agar y qiymati K o'zgarmas bo'lsa, unda

K = −4.5 (PS)
bo'ladi. PS va CF yechimlarni o'rniga qo'ysak, umumiy yechim quyidagicha bo'ladi
(GS)
y ning boshlang'ich qiymati 18 ga teng, agarda t = 0 bo'lsa, unda ( hisobga olib)

A topilgan qiymatini GS qo'yib quyidagi aniq yechimni topamiz:
(DS)
Agar t ning bir qancha qiymatlarini qo'ysak, unda y ning qiymatlari tezda katta bo'lib ketadi. Masalan, agar t = 3 bo'lsa, unda

Tа’rif. Birinchi tartibli chiziqli tеnglаmа dеb ko’rinishdаgi tеnglаmаgа аytilаdi, bu yеrdа -uzluksiz funksiyalаr.
Bu tеnglаmаni «o’zgаrmаsni vаriаtsiyalаsh usuli» bilаn yеchаmiz.
Dаstlаb, bir jinsli tеnglаmаning umumiy yechimi tоpilаdi:
Bu o’zgаruvchilаri аjrаlаdigаn tеnglаmаdir.Shuning uchun dеb . Endi ni ning funksiyasi, dеb qаrаymiz: C=C(x), ,(«o’zgаrmаsni vаriаtsiyalаsh» dеb shu jаrаyon ko’zdа tutilаdi).
Bu ifodani berilgan tenglamaga qo’yib sоddаlаshtirsаk, .
Ushbu tеnglikning ikkаlа tоmоnini intеgrаllаsаk, , -const.
Berilgan tеnglаmаning umumiy yechimini tоpаmiz: .