10-mavzu. Diffеrеnsiаl tеnglаmаlar nazariyasi

10-MAVZU. DIFFЕRЕNSIАL TЕNGLАMАLAR NAZARIYASI



9.1.1. Diffеrеnsiаl tеnglаmа haqida umumiy tushunchalar
9.1.2. O’zgаruvchisi аjrаlаdigаn va unga keltiriladigan differensial
tеnglаmаlаr
9.1.3. Bir jinsli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar


Tayanch iboralar: funktsiya, hosila,integral,differentsial.




9.1.1. Diffеrеnsiаl tеnglаmа haqida tushunchalar
Biz uzluksiz bo'lmagan o'sish tezligini qanday aniqlashni va uzluksiz bo'lmagan o'sish so'nggi to'plangan qiymatga qanday ta'siri borligini yuqorida guvoh bo'lgan edik. Lekin bir qancha iqtisodiy modellarda uzluksiz boshqarishlar bo'lganda, biz differensial tenglama va uni qanaqa usulda yechish haqida tushunchalar bo'lishi zarur.
Noma'lum funksiya va uning hosilalarni o'z ichiga olgan tenglama differensial tenglama deyiladi. Masalan

Bu differensial tenglamaning yechishdan t o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan y funksiya topiiadi. Bu esa bizga t o'zgaruvchining ixtiyoriy qiymatida y ni qiymatini topishga yordam beradi.
Differensial tenglamaga oid juda ko'p tenglamalar mavjud, ammo biz bu yerda faqat birinchi tartibli chiqizli differensial tenglama bilan cheklanamiz. Birinchi tartibli differensial tenglama deb, faqat noma'lumning hadning birinchi tartibli hosilasi bor tenglama tushuniladi. Shunday qilib, birinchi tartibli differensial tenglama dy/dt shartni o'z ichiga oladi, lekin quyidagicha hosila bo'lishi kerak emas. Chiziqli differensial tenglama deb y (dy/dt) ko'paytmani o'z ichiga olmaganga aytiladi. Iqtisodiyotdagi matematik masalalarning aksariyati yuqori tartibli va chiziqsiz differensial tenglamalarni o'z ichiga oladi.
Bizga ma'lumki birinchi tartibli hosila qatnashgan birinchi tartibli differensial tenglamada qoida bo'yicha noma'lum funksiyani o'zi ham tenglamada qatnashishi mumkin. Shunday qilib, birinchi tartibli differensial tenglama quyidagicha bo'lishi mumkin:
• O'zgarmas(bu nolga teng bo'lishi mumkin)
• y noma'lum funksiya
• dy/dt birinchi tartibli hosila
Noma'lum funksiyani topish uchun, integrallash usulini qo'llash birinchi navbatda ko'z oldimizga keladi. Biroq, diferensial tenglamada t ga emas, balki o'zida y shartni o'z ichiga olib, bu esa yechimini topish oson emas. Masalan, agar biz quyidagi ko'rinishda boshlang'ich hosila bilan boshlasak, unda biz integrallash usulidan foydalanib, quyidagini topishimiz mumkin bu yerda C noma'lum o'zgarmas.
Lekin agar biz quyidagi differensial tenglama bilan boshlasak,

yuqoridagi usul yordamida y ni topa olmaymiz.
Keyingi ikki mavzuda birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama yechimini qanday topishni tushuntiradi. Birinchi navbatda, bir jinsli holati hisoblanib, bunda o'zgarmas hadi bo'lmagan va quyidagi ko'rinishda bo'lgan differensial tenglamani yechishdan iborat
bu yerda b o'zgarmas parametr.
Ikkinchisi, bu bir jinsli bo'lmagan holati hisoblanib, bunda C nol bo'lmagan o'zgarmas hadi va quyidagi ko'rinishda bo'lgan differensial tenglamani yechishdan iborat

Yuqoridagi holatlarda bo'lgan differensial tenglamalar iqtisodiyotda kamdan kam uchraydigan holatlarga mos keladi. Biz iqtisodiy o'zgaruvchining o'sishdagi tezligini va aniq bir vaqtdagi qiymatini bilishimiz mumkin, lekin uning qiymati va vaqt oralig'i o'rtasidagi to'g'ridan to'g'ri bog'liqligini bilishimiz mumkin emas.
Tа’rif. Differensial tеnglаmа dеb erkli o’zgаruvchi(lar), nоmа’lum funksiya vа bu funksiya hosilalаri yoki differenstiallarini bоg’lоvchi tеnglаmаgа аytilаdi.
Tа’rif. Аgаr izlаnаyotgаn funksiya bir o’zgаruvchili bo’lsа, tеnglаmа оddiy differensial tеnglаmа, ko’p o’zgаruvchili bo’lsа-хususiy hosilali differensial tеnglаmа dеyilаdi.
Tа’rif. Differensial tеnglаmаning tаrtibi dеb undа qаtnаshаyotgаn hosilalаrning eng yuqоri tаrtibigа аytilаdi.
Umumiy holda -tartibli oddiy differensial tenglama quyidagicha ifodalanadi: