10-Ma’ruza: Metallarning issiqlik xossalari

10-Ma’ruza: Metallarning issiqlik xossalari
Reja:

1. 
   Ossilyator modeli asosida issiqliq sig’imini keltirib chiqarish.
   
2. 
   Kristaldagi fanonlar haqida umumiy ma’lumotlar.
   
3. 
   Eynshteyn nazariyasi asosida qattiq jism issiqlik sig’imi formulasini keltirib chiqarish.
   
4. 
   Debay va Eynshteyn nazariyalari orasidagi tafovutni izohlash.
   
5. 
   Debay nazariyasi asosida issiqlik sig’im formulasini keltirib chiqarish.
   
6. 
   Debayning T³ qonunining mohiyatini izohlash.
   
7. 
   Erkin elektronlarning issiqlik sig’imini aniqlash.
   

Tayanch iboralar: Fononlar, issiqlik sig’imining, atomining xususiy tebranish chastotasi
Fononlar. Yuqorida ko’rdikki, kristallarda atomlar to’plamining kollektiv uyg’onishini, ya’ni chastotalar spektri bo’yicha ma’lum taqsimotgaamal qiluvchi 3N ta har xil normal tebranishlarni hosil qilish mumkin. Kristalda tarqalayotgan har bir tebranish ma’lum energiya va impulsga ega bo’ladi. Shuning uchun panjaraning issiqlik tebranish kvanti, ya’ni fonon tushunchasini kiritish mumkin. Ko’rsatish mumkinki, kristaldagi  chastotali normal tebranish energiyasi kvantlangan bo’lib, u xuddi kvant mexanikasidagi chiziqli garmonik ossilyator energiyasi singari ushbu qonuniyat asosida aniqlanadi:
, (4.1)
bunda n_=0, 1, 2, … , - minimal energiya. Fononlar – kristaldagi tebranish jarayonini bayon etishning ma’lum abstraksiyasidir. Fononning tezligi tebranishning tarqalish tezligiga teng, uning impulsi , yashash vaqti esa taqriban 10^-12 sek ga teng bo’lib, energiya bo’yicha taqschimoti Boze-Eynshteyn statistikasi bo’yicha aniqlanadi.
Fonon tushunchasining kiritilishi ko’pgina fizikaviy jarayonlarni tushuntirishni va ulardagi qonuniyatlarni aniqlashni soddalashtirdi. Masalan, elektronlarning panjara tebranishidan sochilishini elektronning fonondan sochilishi deb qarash mumkin. Bunday sochilishda energiya va impulsning saqlanish qonunlari to’liq bajariladi. Panjaradagi har xil tebranishlarning o’zaro ta’sirini esa fononning fonondan sochilishi deb qarash mumkin.
Qattiq jism issiqlik sig’imining klassik nazariyasi. Qattiq jism har bir zarracha o’zining muvozonat nuqtasi atrofida o’zaro perpendikulyar bo’lgan uchta yo’nalish bo’ylab tebranma harakat qiladi. Agar har bir tebranma harakatni kichik ossilyator deb qarasak, uning energiyasi kinetik va potensial energiyalar yig’indisiga teng bo’ladi:
, (4.2)
bunda M-tebranayotgan zarracha massasi, P-zarrachaning impulsi, -tebranma harakat chastotasi, q- zarrachaning siljishi.
Maksvell – Bolsman taqsimotidan foydalansak, ossilyatorning o’rtacha energiyasi
(4.3)
Kristall atomlar soni N ta bo’lsa, uning to’liq energiyasi
(4.4)
Bir mol modda uchun to’liq ichki energiya bo’ladi. Bunda - universal gaz doimiysi, Avagodro soni, Bolsman doimiysi. U holda qattiq jismning issiqlik sig’imi
(4.5)
Bu formula Dyulonga va Pti qonunini ifodalaydi. Tajriba natajalari ko’rsatadiki, bu qonun faqat yuqori temperaturada o’rinlidir. Past temperaturalarda issiqlik sig’im keskin pasayib ketadi.
Eynshteyn nazariyasi. Issiqlik sig’imining temperaturaga bog’liqligini tushuntirish uchun Eynshteyn sodda model (nusxasi)ni taklif qildi. Bu nusxaga asosan tebranuvchi N ta atomdan tashkil topgan kristalning issiqlik xususiyatim, xuddi bir-biriga bog’liq bo’lmagan va bir xil chastota bilan tebranuvchi 3 N ta bir o’lchamli garmonik ossilyatorlar sistemasining xususiyati singari bo’ladi. Kvant nazariyasiga asosan bu ossilyatorning energiyasi quyidagicha yoziladi:
(4.6)
bunda n=0, 1, 2, …; =1,0510^-27ergsek – Plank doimiysi.
Qattiq jism atomining xususiy tebranish chastotasi bo’lgani uchun ossilyator energiyasi bo’ladi. T=300 K bo’lganda issiqlik energiyasi ossilyator energiyasiga ancha yaqin bo’ladi. Shuning uchun energiyaning erkinlik darajasi bo’yicha teng taqsimoti qonuniga asosan barcha ossilyatorlar uyg’ongan holatda bo’ladi. Past temperaturalarda bo’lganligi sababli ko’pchilik ossilyatorlar tebranma harakatda ishtirok etmaydi. Bunday sharoitda ossilyatorning o’rtacha energiyasi Gibbs taqsimoti asosida topiladi:
,
bunda kvant sistemasining holatda bo’lish ehtimoli. Bu ifodaga ni ((4.6) formulaga asosan) keltirib qo’ysak,
(4.7)
Eynshteyn formulasini keltirib chiqaramiz. Har bir ossilyatorning o’rtacha energimyasi bo’lgani uchun, kristalning to’liq energiyasi
(4.8)
bo’ladi ( bo’lgani uchun maxrajdlagi 1 ni hisobga olmadik). U holda qattiq jismning issiqlik sig’imi
(4.9)
ekanligini topamiz. Demak, Eynshteyn nazariyasiga asosan past temperaturalarda issiqlik sig’im qonuniyat bo’yicha nolga intiladi. Tajriba natijalari ko’rsatadiki, juda past temperaturalarda bu qonuniyat buziladi.