10-Ma’ruza: Metallarning issiqlik xossalari

Debay nazariyasi. Erkin elektronlarning issiqlik sig’imi.
Debay nazariyasi. Eynshteyn modeli juda past temperaturalarda panjaraning tebranma harakatini to’g’ri ifodalay olmaydi. Debay ko’rsatadiki, qattiq jismdagi chastotalar spektri tovush to’lqiniga mos keluvchi past chastotalarda infraqizil sohada yotadigan maksimal yutilish chastotasigacha bo’lgan oraliqni o’z ichiga oladi. Juda past temperatularda past chastotali ossilyatorlarning issiqlik sig’imga qo’shgan hissasi yuqori chastotali ossilyatorlar hissasidan ancha katta bo’ladi.
Debay nazariyasiga asosan, chastotalar taqsimotini aniqroq hisoblash uchun kristalni uzluksiz yaxlit jism deb qarash kerak. Debay qattiq jismni izotrop modda deb hisobladi.
Debay modelining real holatdagi kristaldan farqiga e’tibor berish kerak. Uzluksiz moddada to’lqin uzunligining noldan cheksizgacha bo’lgan qiymatlariga mos keluvchi cheksizdan nolgacha chastotali tebranishlar bo’ladi. Real jismlarda esa to’lqin uzunligining atomlar orasidagi masofadan kichik bo’lgan (aniqrog’i ) to’lqinlarni hisobga olish ma’noga ega emas.
N ta atomdan tashkil topgan sistemaning erkinlik darajasi 3N ta bo’ladi, uzluksiz moddaning erkinlik darajasi esa cheksiz kattadir. Shuning uchun issiqlik sig’imni aniqlashda erkinlik darajani chegaralaydigan biror shartni kiritg’ish kerak. Agar biz chastotalarni hisobga olmasak, bu shart quyidagicha yoziladi:
, (4.10)
bunda uzluksiz moddada chastotaning taqsimot funksiyasi.
Kristall issiqlik harakatining to’liq energiyasi E ni aniqlash uchun bitta fonon energiyasi ni Boze-Eynshteynning energiya bo’yicha taqsimot funksiyasi
(4.11)

ga va  dan +d gacha chastotalar oralig’iga to’g’ri keladigan normal tebranishlar soni
(4.12)

ga ko’paytirish va hosil bo’lgan integralni kristaldagi tebranishlar chastotasining dan gacha oralig’ida integrallash zarur:

, (4.13)

bu formulalarda o’rtacha tovush tezligi ushbu ifodadan topiladi:

, (4.14)

bunda va - bo’ylama va ko’ndalang to’lqin tezliklari.

Namunaning bir birlik hajmidagi to’lqin soni k dan kichik bo’lgan normal tebranishlar soni ga teng bo’lgani sababli (4.10) formulaga asosan
yoki (4.15)
bo’ladi. bo’lganligi sababli (4.15) formuladan
(4.16)
ekanligini topamiz. Agar va
(4.17)
belgilashlarni kiritsak, (4.13) formulani quyidagicha yozamiz:
, (4.18)
bu yerda V – jismningsh hajmi, Debayning xarakteristik temperaturasi, N – atomlar soni.
Bu ifodani T bo’yicha differensiallab issiqliq sig’im uchun ushbu ifodani hosil qilamiz:
(4.19)
Past temperaturalarda (T_D) integralning yuqori chengarasini cheksiz deb hisoblash mumkin. Shuning uchun
(4.20)
bo’ladi. U holda
 . (4.21)
Issiqlik sig’imning temperaturaga bunday bog’lanishi Debayning qonuni deb ataladi. Bu formulada N₀ – bir birlik hajmdagi atomlar soni.
12 – rasmda atomar issiqlik sig’imining Debay egri chizig’ida qanchalik darajada yotishi ayrim elementlar uchun ko’rsatilgan. Rasmdan ko’rinadiki, T_D bo’lganda issiqlik sig’im klassik nazariyada aniqlangan 3R ga yaqinlashadi.

12-rasm. Debayning solishtirma issiqlik sig’imi egri chizig’i bilan ayrim moddalarning tajribada topilgan qiymatlarini taqqoslash.

Shunday qilib, Debay nazariyasi qattiq jism issiqlik sig’imining haroratga bog’liqligini to’g’ri izohlaydi.

Erkin elektronlarning issiqlik sig’imi. Kristallarning issiqlik sig’imini aniqlashda metallardagi elektron gazining issiqlik sig’imi hisobga olinmaydi. Shunday bo’lishiga qaramasdan olingan natijalar tajribada topilgan qiymatlarga mos keladi. Bu hodisani klassik nazariya asosida tushuntirib bo’lmaydi.
Harorati noldan T haroratgacha ko’tarildganda elektronlarning bir qismi uyg’ongan holatga o’tadi va Fermi energiyasi E dan yuqori joylashgan energetik sathlarga o’tadi. Lekin energiyasi E va E-kT oralig’ida bo’lgan elektrongina bunday o’tishlarda ishtirok etadi, qolgan elektronlarda hech qanday o’zgarish bo’lmaydi. Uyg’ongan holatga o’tgan elektronlar soni n ning butun erkin elektronlar soni n ga nisbtini quyidagicha yozish mumkin:
(4.22)
Har bir uyg’ongan holatga o’tgan elektron o’z energiyasini kT ga oshiradi. Shuning uchun elektron gaz yutib olgan energiya
(4.23)
Ko’pchilik moddalar uchun Fermi energiyasi E_F310 eV bo’ladi. Zichligi n₀ bo’lgan elektron gazning issiqlik sig’imi
(4.24)
Aniqroq hisoblashlar ko’rsatadiki,
(4.25)
Davriy sistemadagi birinchi guruh elementlari uchun n₀=N bo’ladi.
4.26)
Demak, elektron gazning issiqlik sig’imi ko’rinishda bo’lib, uni faqat past temperaturalarda o’lchash mumkin.
Nazorat savollari:

1. 
   Fonon deganda nimani tushunasiz? Uning energiya va impulsi qanday aniqlanadi?
   
2. 
   Yuqori temperaturalarda qattiq jismning issiqlik sig’imi qanday tushuntiriladi?
   
3. 
   Nima sababdan past temperaturalarda Dyulonga va Pti qonuni buziladi?
   
4. 
   Eynshteyn nazariyasining mohiyati nimadan iborat?
   
5. 
   Eynshteyn nazariyasi issiqlik sig’imning qanday qonuniyatini keltirib chiqaradi?
   
6. 
   Debay modelining asosiy mohiyati nimadan iborat?
   
7. 
   Debay va Eynshteyn modlellaridagi asosiy tafovutni izohlay olasizmi?
   
8. 
   Debay nazariyasiga asosan issiqlik sig’im past temsperatularda qanday qonuniyat bo’yicha o’zgaradi?
   
9. 
   Metallardagi erkin elektronlarning issiqlik sig’imi qanday izohlanadi?