10-Ma’ruza Funksional qatorlar. Darajali qatorning yaqinlashish intervali. Darajali qatorning xossalari

3-Teorema (Qatorni differensiallash).
Agar hadlari 
kesmada uzluksiz 
hosilalarga ega bo’lgan (6) qator yig’indisi 
va bu qator hadlarining hosilalaridan 
tuzilgan 
(5) 
qator ana shu kesmada kuchaytirilgan bo’lsa, (5) hosilalar qatorining yig’indisi 
dastlabki berilgan (1) qator yig’indisining hosilasiga teng, ya’ni 
Mulohaza.
Hosilalar qatorining kuchaytirilganligi muhim talab, uning 
bajarilmasligi qatorni hadma-had differensiallash mumkin bo’lmasligiga olib kelishi 
mumkin. 
4-Misol.
Ushbu 
qatorni qaraymiz. Bu qator uzluksiz funksiyaga yaqinlashadi, chunki u butun son o’qida 
kuchaytirilgan, ya’ni hadlari absolyut qiymati bo’yicha yaqinlashuvchi musbat hadli 
qatorning hadlaridan katta emas. Berilgan qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan 
qator uzoqlashuvchi. Masalan, 
nuqtada bu qator uzoqlashuvchi 
qatorga aylanadi.◄ 
Darajali qatorlar.
 
Darajali qator
deb 
(6) 
ko’rinishdagi qatorlarga aytamiz, bu yerda 
, 
, 
…
haqiqiy sonlar bo’lib, ular 
qatorning koeffisiyentlari
deb ataladi. 
Ixtiyoriy darajali qator hech bo’lmaganda bitta 
nuqtada yaqinlashishi 
ravshan. 
4-Teorema (Abel).
1) Agar (1) darajali qator biror 
qiymatda yaqinlashsa, 
u 
| | | 
|
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha 
larda absolyut yaqinlashadi.
2) agar (6) darajali qator biror 
qiymatda uzoqlashsa, u 
| | | 
|
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha 
larda uzoqlashadi. 
Abel teoremasidan (6) darajali qatorning yaqinlashish sohasi uchlari 
va 
nuqtalarda bo’lgan oraliqdan oborat bo’lishi kelib chiqadi (1-rasm). Bu oraliqni 
darajali qatorning 
yaqinlashish intervali
deb ataymiz. 
soni esa darajali qatorning 
yaqinlashish radiusi
deb ataladi.
𝑂
𝑅
𝑅
𝑥
Uzoqlashadi 
Uzoqlashadi 
Yaqinlashadi 
1-Rasm 

---

Agar (6) qator butun 
son o’qida yaqinlashsa, 
deb, agar faqat bitta 
nuqtada yaqinlashsa 
deb olinadi. 
chekli bo’lganda oraliqning chegaralarida (6) qator yaqinlashishi ham 
uzoqlashishsi ham mumkin. Bu holda oraliqning chegaralarida qator yaqinlashishini 
aniqlash uchun qo’shimcha tadqiqotni olib borish kerak. 
(6) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan 
| 
| | 
|| | | 
|| |
| 
|| |
(7) 
qatorni qaraymiz. Musbat hadli bu qatorning yaqinlashishini aniqlash uchun Dalamber 
alomatini qo’llaymiz.
Faraz qilaylik 
|
|
|
| | | | |
limit mavjud bo’lsin. U holda Dalamber alomatiga ko’ra, 
| |
, ya’ni 
| |
bo’lsa, (7) qator yaqinlashuvchi va 
| |
, ya’ni 
| |
bo’lsa (7) qator 
uzoqlashuvchi bo’ladi. 
Shunday qilib, yuqoridagilardan kelib chiqqan holda (7) qatorning yaqinlashish 
intervali 
ekanligi kelib chiqadi, ya’ni (7) qatorning yaqinlashish radiusi 
|
|
(8) 
tenglik bilan aniqlanadai.
(7) qatorning yaqinlashuvchiligidan (6) qatorning ham yaqinlashuvi kelib chiqadi, 
shuning uchun (1) darajali qatorning ham yaqinlashish radiusi (3) tenglik bilan topiladi. 
Xuddi shu singari (6) qatorning yaqinlashish intervalini aniqlash uchun Koshi 
alomatini qo’llasak 
√|
|
(9) 
yaqinlashish radiusiga ega bo’lamiz.