10. Ikki funksiya yiђindisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatining hosilasi

5⁰. Hosilalar jadvali. Quyida sodda funksiyalarning hosilalarini ifodalovchi formulalarni keltiramiz:

1. 
   
   

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.
Mashqlar
1. Aytaylik, funksiya da berilgan va hosilaga ega bo’lsin. Agar juft funksiya bo’lsa, ham juft funksiya bo’lishi isbotlansin.

2. funksiya da berilgan bo’lib, hosilaga ega bo’lsin. Qanday nuqtalarda funksiya hosilaga ega bo’ladi?

3. Ushbu

murakkab funksiya hosilasini hisoblash qoidasi topilsin.

Funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari
1⁰. Funksiyaning yuqori tartibli hosilalari. Faraz qilaylik, funksiya da berilgan bo’lib, da hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiyani orqali belgilaymiz:

.

1-ta’rif. Agar nuqtada funksiya hosilaga ega bo’lsa, bu hosila funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi.

Xuddi shunga o’xshash, ning 3-tartibli , 4-tartibli va h.k. tartibli hosilalari ta’riflanadi.

Umuman, funksiyaning tartibli hosilasi ning hosilasi funksiyaning tartibli hosilasi deyiladi:

.

Odatda, funksiyaning hosilalari uning yuqori tartibli hosilalari deyiladi. SHuni ta’kidlash lozimki, funksiyaning da tartibli hosilasining mavjudligi bu funksiyaning shu nuqta atrofida tartibli hosilalari mavjudligini taqoza etadi. Ammo bu hosilalarning mavjudligidan tartibli hosila mavjudligi, umuman aytganda, kelib chiqavermaydi.

Masalan,

funksiyaning hosilasi bo’lib, bu funksiya nuqtada hosilaga ega emas, ya’ni berilgan funksiyaning da birinchi tartibli hosilasi mavjud, ikkinchi tartibli hosilasi esa mavjud emas.

1-misol. bo’lsin, Bu funksiya uchun

umuman

(1)

bo’ladi. (1) munosabatning o’rinli bo’lishi matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi.

2-misol. bo’lsin. Bu funksiya uchun


Umuman,

bo’ladi.

SHunga o’xshash,



bo’ladi.