10. Funksiyaning Teylor qatori

2⁰. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosilalarga ega bo’lsin.

2-teorema. Agar da

Bo’lsa, funksiya da Teylor qatoriga yoyiladi:

◄ Ma’lumki, funksiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagicha bo’ladi:

,

Bunda,

.

Teoremaning shartidan foydalanib topamiz:

.

Ravshanki,

.

Demak, da

Bo’lib, undan qaralayotgan funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishi kelib chiqadi. ►

3⁰. Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish.

A) Ko’rsatkichli va giperbolik funksiyalarni Teylor qatorlarini topamiz. Aytaylik,

bo’lsin. Ravshanki, bo’lib, da

bo’ladi. Binobarin, 2-teoremaga ko’ra funksiya da Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulada foydalanib topamiz:

. (4)

ixtiyoriy musbat son. Demak, (4) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi.

(4) munosabatda ni ga almashtirib topamiz:

Ma’lumki giperbolik sinus hamda giperbolik kosinus funksiyalari quyidagicha

ta’riflanar edi.

Yuqoridagi

,

formulalardan foydalanib topamiz:

,

.

Bu funksiyalarining Teylor qatorlari bo’lib, ular ifodalangan darajali qatorlarning yaqinlashish radiuslari bo’ladi.

B) Trigonometrik funksiyalarning Teylor qatorlarini topamiz. Aytaylik, bo’lsin. Ravshanki, da

Bo’lib, bo’ladi. Demak, 2-teoremaga ko’ra funksiya Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulaga binoan

(5)

bo’ladi.

Aytaylik,

bo’lsin. Bu funksiya uchun da

bo’lib,

bo’ladi. Unda 2–teoremaga ko’ra funksiya Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulaga binoan

(6)

bo’ladi.

(5) va (6) darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi bo’ladi.

V) logarifmik funksiyaning Teylor qatorini topamiz. Aytaylik,

bo’lsin. Ma’lumki,

bo’lib,

bo’ladi. Bu funksiyaning Teylor formulasi

(7)

ko’rinishga ega.

funksiyani Teylor qatoriga yoyishda 1-teoremadan foydalanmiz. Buning uchun (7) formulada ning 0 ga intilishini ko’rsatish yetarli bo’ladi.

Aytaylik, bo’lsin. Bu holda lagranj ko’rinishida yozilgan

Qoldiq had uchun

bo’ladi va

tenglik bajariladi.

Aytaylik, bo’lsin, bunda .

Bu holda Koshi ko’rinishida yozilgan

qoldiq had uchun

bo’lib,

bo’ladi.

Demak,

.

Unda 1-teoremaga ko’ra

(8)

bo’ladi.

(8) darajali qatorning yaqinlashish radiusi ga teng.

Agar yuqoridagi ning yoyilmasida ni ga almashtirilsa, unda

formula kelib chiqadi.

G) darajali funksiyaning teylor qatorini topamiz.

Aytaylik,

bo’lsin. Ma’lumki,

bo’lib,

bo’ladi. Bu funksiyaning Teylor formulasi ushbu

Ko’rinishga ega.

Endi da bo’lishini ko’rsatamiz.

Ma’lumki, Teylor formulasidagi qoldiq hadning Koshi ko’rinishi quyidagicha

bo’lar edi.

Aytaylik, bo’lsin. Bu holda:

1) bo’ladi,

Chunki, limit ishorasi ostidagi ifoda yaqinlashuvchi ushbu

Qatorning umumiy hadi;

2) ;

3)

bo’ladi. Bu munosabatlardan foydalanib, da

Bo’lishini topamiz. 1-teoremaga ko’ra

(9)

bo’ladi.

Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lganda 1 ga teng: .

(9) munosabatda deb olinsa, unda ushbu

formula hosil bo’ladi. Bu formulada ni ga almashtirib topamiz:

1-misol. Ushbu

Funksiya Teylor qatoriga yoyilsin.

◄ma’lumki,

bo’ladi.

Biz yuqorida

Bo’lishini ko’rgan edik. Bu munosabatlardan foydalanib topamiz:

Demak,

. (10)

(10) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lib, yaqinlashish to’plamsi bo’ladi.►

2-misol. Ushbu

funksiya Teylor qatoriga yoyilsin.

◄ma’lumki,

.

Unda

bo’ladi. Bu darajali qatorni hadlab integrallab topamiz:

Keyingi darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi.►

3-misol. Ushbu

Funksiya Teylor qatoriga yoyilsin va bu qatorning yaqinlashish radiusi topilsin.

◄ avvalo funksiyani quyidagicha yozib olamiz:

Ma’lumki,

,

.

Bu formulalardan foydalanib topamiz:

,

Demak,

bo’ladi.

Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi. ►
Keyslar
1. Ushbu

funksiyalar Teylor qatoriga yoyilsin.

2. Ushbu

qatorning yig’indisi topilsin.

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Tao T. Analysis 1, 2. Hindustan Book Agency, India, 2014.
   
2. 
   Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’ruzalar, I, II q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
   
3. 
   Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1, 2, 3 т. М. «ФИЗМАТЛИТ», 2001.
   
4. 
   Худойберганов Г., Ворисов А. К., Мансуров Х. Т. Комплекс анализ. Т. “Университет”, 1998.
   
5. 
   Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М. URSS, 2015.
   

Qо‘shimcha adabiyotlar

6. 
   Садуллаев А., Мансуров Х. Т., Худойберганов Г., Ворисов А. К., Гуломов Р. Математик анализ курсидан мисол ва масалалар тўплами, 1, 2, 3 қ. Т. “Ўқитувчи”, 1995, 1995, 2000.
   
7. 
   Шокирова Х. Р. Каррали ва эгри чизиқли интеграллар. Т. “Ўзбекистон”, 1990.
   
8. 
   Демидович Б. П. Сборник задач по математическому анализу. М. «Наука», 1997.