10-Amaliy mashgulot Mavzu

Aniq integrallarni trapetsiyalar usuli yordamida taqribiy hisoblash algoritmi va dasturi

Agar berilgan egri chiziqni to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasida bo‘lganidek zinapoyasimon chiziq bilan almashtirmasdan, balki ichki chizilgan siniq chiziq bilan almashtirsak, u holda aniq integralning ancha aniqroq qiymati hosil bo‘lishini kutish tabiydir, (1-rasm). Bu holda egri chiziqli aABb trapetsiyaning yuzi yuqoridan AA₁,A₁A₂,…,A_n-1B vatarlar bilan chegaralangan to‘g‘ri burchakli trapetsiyalar yuzalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. Ammo bu trapetsiyalardan birinchisini yuzi , ikkinchisining yuzi va h.k. bo‘lgani sababli,

y

A₁

A
y₀ y₁ y₂ y_n-1 y_n

0 x₀ =a x₁ x₂ x_n-1 x_n=b x

1-rasm
Barcha trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisini quyidagi formula orqali ifodalash mumkin:

yoki
.
Bu formulani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
.
Bu esa trapetsiyalar formulasi bo‘lib, n soni ixtiyoriy tanlab olinadi. Bu son qancha katta bo‘lsa, ya’ni qadam qancha kichik bo‘lsa, taqribiy tenglikning o‘ng tomonida yozilgan yig‘indi shuncha katta aniqlik bilan integral qiymatini beradi.


1-misol.
Ushbu integralni trapetsiyalar formulasi yordamida taqribiy hisoblaymiz. [0,1] oraliqni ushbu nuqtalar yordamida 5 ta teng bo‘lakka bo‘lamiz, bo‘linish nuqtalari
x₀ = 0; x₁ = 0,2; x₂ = 0,4; x₃ = 0,6; x₄ = 0,8; x₅ = 1,0 bo‘lib, bu nuqtalarda funksiyaning qiymatlari quyidagicha:

Shunday qilib, funksiyaning nuqtalardagi qiymatlarini hisobga olib,

integralni trapetsiya formulasi yordamida taqribiy hisoblaymiz.

Demak, integralni qo‘l bilan hisoblaganimizda uning qiymati quyidagiga teng ekan: