10-§. Matematikaliq kutiliw ham dispersiya ushin isenimli araliqlar

10-§.Matematikaliq kutiliw ham dispersiya ushin isenimli araliqlar
14.10.1. X_1, X_2,…. , X_n X – belgili bos toplamnan aling`an tan`lanba, onin` bolistiriw funkciyasi F(x, 0) bolsin. ɵ parametr ushin L(X<sub>1,…,</sub> X<sub>n</sub> ) baha bolsin.
Eger qalegen α>0 san ushin sonday δ>0 san tabiw mumkin
P(|L-ɵ|<δ) = 1-α
bolsa, ol jagdayda (L-δ; L+δ) araliq ɵ parametriniń 1-α isenimlilik darejesi isenimli aralig`i delinedi.
14.10.2 Х belgisi normal bolistirilgen bos toplamdi qaraymiz. Usi bolistiriwdin` matematik kutiliwi ɑ ushin tomendegi isenimli araliqtan paydalaniladi :
a)
bul jerde σ - orta kvadratliq shetleniw , t<sub>α</sub> - Laplas funkciyasi Ф(t) nin` Ф(t_α)=α/2 bolatug`in manisi.
b) σ -belgisiz bolip, saylanba kolemi n>30 bolganda:
bul jerde
S<sup>2</sup> saylanba dispersiya , t<sub>n-1:α</sub> - Styudent bolistiriwi kesteden berilgen n ham α lar boyinsha tabiladi.
14.10.3. X belgisi normal bolistirilgen bolistiriw funkciyasinin` dispersiyasi σ² ushin tomendegi araliqlardan paydalaniladi:
S²(1-q)² <σ< S²(1+q)² ,q<1 bolg`anda,
0<σ<sup>2</sup>< S<sup>2</sup>(1+q)<sup>2</sup> ,q>1 bolg`anda.
1-misal. Tosinnanli mug`dar σ=2 parameter menen normal nizam boyinsha bolistirilgen. n=25 kolemli tan`lanba aling`an. Bul bolistiriwdin` belgisiz ɑ parametri ushin γ=0,95 isenimlilik menen isenimli araliqti tabin`.
Sheshiw. Ф(t) = (½)γ=0,475 tenlikten, Ф(t) funkciya kestesinen t=1,96 sandi tawamiz.Ol jag`dayda baha aniqlig`i to`mendegishe boladi:

Isenimli araliq bolsa

Maselen,eger aling`an tan`lanba ushin Ẋ=2,3 bolsa, ol jag`dayda (1,5;3,1) araliq 95% isenimlilik penen belgisiz parameter ɑ ni qaplaydi.
2-misal. Bos toplamanin` normal bolistirilgen X belgisinin` belgisiz matematik kutiliwi ɑni γ=0,95 isenimlilik penen bahalaw ushin isenimli araliqti tabin`. Bunda σ=5, tenlemenin orta manisi X=14 ham tenleme kolemi n=25 berilgen.
Sheshiliwi. Ф(t) = (½)γ qatnasiqtan: Ф(t) = (½)0,95=0,475 Kesteden t=1,96 tawamiz.Tawilg`anlardi ge qoyamiz:

yamasa (12,04; 15,96)
isenimli araliqti tabamiz.
3-misal. Bos toplamnin` X belgisi normal bolistirilgen. n=16 kolemli tan`lanba boyinsha tan`lanba orta manis Ẋ=20,2 ham tan`lanba orta kvadratliq shetleniw S=0,8 tabilg`an. Belgisiz matematik kutiliwdi isenimli araliq jardeminde γ =0,95 isenimlilik penen bahalan`.
Sheshiliwi.
γ =0,95; n=16; t_n-1:γ =2,13
Usilardi

formulag`a qoysaq,

yamasa
(19,774; 20,626)
payda boladi. Sonday qilip,belgisiz ɑ parametr 0,95 isenimlilik penen
19,774<ɑ<20,626
isenimli araliqta jatadi.
4-misal.Fizik olshemdi tog`iz birdey,baylanissiz olshew natiyjesinde aling`an natiyjelerdin` orta arifmetigi ham tan`lanba orta kvadratliq shetleniwi S=5,0 tabilg`an.Olshenip atirg`an olshemnin haqiyqiy manisi γ =0,95 isenimlilik penen aniqlaw talap qilinadi.
Sheshiliwi.Olshenip atirg`an olshemnin` haqiyqiy manisi onin` matematikaliq kutiliwine ten`. Sonin` ushin masele σ belgisiz bolg`anda

Isenimlilik aralig`i jardeminde matematik kutiliwdi bahalawg`a keltiredi. Kesteden γ =0,95 ham n=9 boyinsha t_{n-1: γ} =2,13 di tabamiz.
Ol jag`dayda

yamasa
38,469<ɑ<46,169.
Sonday qilip, izlenip atirg`an olshemnin` haqiyqiy manisi 0,95 isenimlilik penen 38,469<ɑ<46,169 isenimli araliqta jatadi.
5-misal. Bos toplamnin` X belgisi normal bolistirilgen. n=16 kolemli tan`lanba boyinsha orta kvadratliq shetleniwi S=1 tabilg`an. Bos toplam orta kvadratliq shetleniw σ ni 0,95 isenimlilik penen qaplaytug`in isenimli araliqti tabin`.
Sheshiliwi.Berilgenler γ =0,95 ham n=16 boyinsha kesteden q=0,44<1 di tabamiz. Tawilg`anlardi S(1-q)<σ
yamasa

ni payda qilamiz.
6-misal. Qandayda fizik olshemli bir asbap jardeminde 12 marte olshengen, bunda olshewlerdegi tosinnanli qateliklerdin` orta kvadratliq shetleniwi 0,6 ga ` ten` bolip shiqti. Asbap aniqligini 0,99 isenimlilik penen tabin`.
Sheshiliwi. Asbaptin` aniqlig`i olshewlerdegi tosinnanli qateliklerdin` orta kvadratliq shetleniwi memen aniqlanadi. Sonin` ushin masele orta kvadratliq shetleniw σ ni berilgen γ=0,99 ham n=12 boyinsha q=0,9 di tabamiz. S=0,6 ham q=0,9 lardi formulag`a qoyip, izlenip atirg`an araliqti tabamiz:

yamasa

10-tapsirma
1.Bos toplamnin` normal bolistirilgen X san belgisinin` belgisiz matematik kutiliwi ɑ ni 0,99 isenimlilik penen bahalaw ushin isenimli araliqti tabin`, bunda orta kvadratliq shetleniw σ=4 tan`lanbanin` orta manisi tan`lanba kolemi n=16.
J:7,63<ɑ<12,77
2.Bos toplamnin` normal bolistirilgen X belgisinin` matematik kutiliwini tan`lanba orta manis boyinsha bahasinin` 0,925 isenimlilik penen aniqlig`i 0,2 ge ten` bolatug`in ten`lemenin` minimal kolemin tabin`.Orta kvadratliq shetleniwi σ=1,5 ga ten` dep alin`.
J: n=179.
3.Bos toplamnan n=10 kolemli tan`lanba aling`an:

Bos kopliktin` normal bolistirilgen belgisi matematik kutiliwdi tan`lanba orta manisi boyinsha 0,95 isenimlilik penen isenimli araliq jardeminde bahalan`.
J:0,3<ɑ<3,7.
4.Qandayda fizik olshemdi baylanissiz harqiyli aniqliqtag`i 9 ta olshew mag`liwmatlari boyinsha olshewlerinin` orta arifmetik manisi ham orta shetleniwi S=6 tabilg`an.Olshenip atirg`an olshemnin` haqiyqiy manisi isenimli araliq jardeminde γ=0,99 isenimlilik penen bahalan`.
J: 23,38<ɑ<36,82.
5.Bos toplamnin` mug`darli belgisi normal bolistirilgen. n kolemli tan`lanba boyinsha duzilgen orta kvadratliq shetleniw S tabilg`an.
a) ortasha kvadratliq shetleniw σ ni;
b) dispersiyani 0,99 isenimlilik penen qaplaytug`in isenimli araliqti tabin`, bunda n=10;S=5,1
J: a) 0<σ<14,28; b) 0< σ²<203,92.
6. Bir asbap jardeminde (sistematik qatelersiz) qandayda fizik olshem 10 ese olshengen, bunda olshewlerdegi tosinnanli qatelerdin` orta kvadratliq shetleniwi 0,8 ge ten` bolg`an. Asbap aniqligini 0,95 isenimlilik penen aniqlan`.
J: ) 0,28<σ<1,32
7. Normal bolistirilgen bos toplamnan n=10 kolemli tan`lanba aling`an ham usi jiylikler kestesi duzilgen:

Matematik kutiliw ushin γ=0,95 isenimlilik penen isenimli araliqti tabin`.
8. 10 ta baylanissiz (erikli) olshewler natiyjesinde sterjen uzunlig`I (mm) ushin tomendegi mag`liwmatlar aling`an: 23,24,23,25,25,26,26,25,24,25. Olshew qateligi normal bolistirilgen dep qiyal qilip, sterjen uzunlig`inin` matematik kutiliwi ushin γ=95% menen isenimli araliqti tabin`.
J: 23,8<ɑ<25,4.
9. Eger 10 ta baylanissiz (erikli) olshewler natiyjesinde obyektke shekem bolg`an araliq (m) ushin 25025, 24970, 24780, 25315, 24097, 24646, 24717, 25354, 24912, 25374, natiyjeler aling`an bolsa, obektke shekem bolg`an araliqtin` matematik kutiliwi ushin isenimlilik penen isenimli araliqti tabin`. Bunda olshew qateligi orta kvadratliq shetleniw menen normal bolistirilgen dep qiyal qilinadi. J: 24948<ɑ<25052.
10 - Ozbetinshe jumis

1. 
   Bos toplamnin` X belgisi normal bolistirilgen. Eger orta kvadratliq shetleniw σ, tan`lanba orta ham tan`lanba kolemi n berilgen bolsa (σ=5,Ẋ=16,8; n=25) , belgisiz ɑ matematik kutiliwdi 0,99 isenimlilik penen bahalaw ushin isenimli araliqti tabin`. J: 19,23<ɑ<19,37.
   
2. 
   Olshewlerdin` tosinnanli qatelikleri orta kvadratliq shetleniwi σ=40 m bolg`an bir asbap jardeminde toptan nishanga shekem bolg`an araliq 5 marte (birdey sharayatta) olshengen. Eger olshewlerdin` orta arifmetik manisi ekenligi belgili bolsa , nishang`a shekem bolg`an ɑ haqiyqiy araliqti 0,95 isenimlilik penen bahalaw ushin isenimli araliqti tabin`. J: 1960,8<ɑ<2039,2.
   
3. 
   Dispersiyasi belgisiz normal bolistirilgen bos toplam matematik kutiliwi ushin tan`lanba kolemi n boyinsha isenimlilik penen isenimli araliqti tabin`. Bunda n=25, Ẋ=2,4; S²=4; γ=0,95.
   

J: 1,5744<ɑ<3,2256.

4. 
   Bos toplamnan n=12 kolemli tan`lanba aling`an:
   

Bos toplamnin` normal bolistirilgen belgisi matematik kutiliwi ɑ ni 0,95 isenimlilik penen isenimli araliq jardeminde bahalan`.
J: -0,04<ɑ<0,88.

5. 
   Bos toplamnin` normal bolistirilgen mug`dar belgisinen aling`an n kolemli tan`lanba boyinsha orta kvadratliq shetleniw S tabilg`an.
   

Eger n=50, S=14 bolsa , a) orta kvadratliq σ ni 0,994 isenimlilik penen qaplawshi isenimli araliqti tabin`;
b) usi mag`liwmatlar boyinsha joqaridag`i talabti dispersiya ushin islen`.
J: a) 7,98<σ<20,02 b) 63,9<σ²<400,8

6. 
   Birdey aniqliqtag`i 15 ta olshew boyinsha orta kvadratliq shetletiw S=0,12 tabilg`an. Olshew aniqlig`i 0,99 isenimlilik penen aniqlan`.
   

J: 0,03<σ<0,21

7. 
   Qandayda fizik olshem X ti bir-birine baylanissiz bolmag`an 4 olshew natiyjesinde 28,6; 28,3; 28,2 , 28,4 manisler aling`an. Olshew qateligi normal bolistiriwge iye dep qiyal qilip, normal bolistirilgen X tosinnanli mug`dardin` ɑ matematik kutiliwi ushin 95% isenimlilik penen isenimli araliq tabin`. J: 28,11<ɑ<28,65.