1. Sonli ketma-ketlik ta’rifi va umumiy tushunchalar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli ketma-ketliklar

Birinchi ajoyib limit.

teorema. bo’ladi. Isboti. Radiusi birga teng bo’lgan birlik aylanani ko’raylik . - OAB uchburchakning yuzasi - OAB sektorning yuzasi - OCB uchburchakning yuzasi bo’lsin. U holda < < bo’ladi. OA=OB=R=1 ekanligini e’tiborga olsak = OB AD= sinx, = OB AB = va = = tgx bo’ladi.

y C A x O D B

Demak sinx= =AD; tgx= =CB.
sinx< < tgx 1< <
cosx< <1 cosx< < 1
=1 .
Misol. = = ₌ .


Ikkinchi ajoyib limit.
Ta’rif. (1+ )ⁿ o’zgaruvchi miqdorning n dagi limiti e soni deyiladi, e=2,7182818284...
2-teorema. (1+ )^x funksiyaning x dagi limiti mavjud bo’lib e soniga teng bo’ladi.
(1+ )^x =e (3)
1. x deylik, bu xolda x ning xar qanday qiymati ikki musbat butun sonlar orasida yotadi.
n xn <(1+ )ⁿ<(1+ )ⁿ .
Agar x bo’lsa , n xam n chunki n x ning butun qismi, oxirgi tengsizlikdan limitga o’tsak, ikki chekkadagi limitlar y ga intilgani uchun
(1+ )^x =e
kelib chiqadi.
2. x da t=-(x+1) yoki x=-(t+1) almashtirish bajarsak t da .
(1+ )^x= (1 - )^-t-1 = (1 + )^t=e.
3. (1+ )^x=e ekanligini ham quyidagicha xosil qilamiz:
x= desak t da x , (1+ ) = (1+ )^t=e.

Amaliy mashg’ulotlarda ko’p uchraydigan quyidagi limitlarni xam talabalarning bilishi maqsadga muvofiq bo’lar edi.

(1- )^x=e^–k ; (1+ ) ^x =e ^k ,
=lna ; =1,
=log_ae.