57.
Kommutativlik qoninini kvantorlar uchun bajarilishi.
– kommutativlik qonunlari:
x
y
y
x
,
x
y
y
x
;
58.
)
(
))
(
)
(
(
z
R
y
yQ
x
xP
formulani deyarli normal shaklga
keltiring?
59.
Kvantorlar va ularning xossalari.
M
to‘plamda aniqlangan
)
(
x
Ρ
predikat berilgan bo‘lsin. Agar
M
a
ni
)
(
x
Ρ
predikatning
x
argumenti o‘rniga qo‘ysak, u holda bu predikat
)
(
a
Ρ
mulohazaga aylanadi.
Predikatlar mantiqida yuqorida ko‘rilganlardan tashqari yana ikkita amal mavjudki, ular bir
joyli predikatni mulohazaga aylantiradi.
2.1. Umumiylik kvantori.
M
to‘plamda aniqlangan
)
(
x
Ρ
predikat berilgan bo‘lsin. Har
qanday
M
x
uchun
)
(
x
Ρ
chin va aks holda yolg‘on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini
)
(
x
xΡ
shaklda yozamiz. Bu mulohaza endi
x
ga bog‘liq bo‘lmay qoladi va u quyidagicha o‘qiladi:
«har qanday
x
uchun
)
(
x
Ρ
chin».
simvol
umumiylik kvantori
deb ataladi. Aytilgan fikrlarni
matematik ifodalar vositasida quyidagicha yozish mumkin:
.
holda
aks
,
0
,
lganda
bo'
1
)
(
uchun
barcha
,
1
)
(
x
P
M
x
x
xΡ
)
(
x
Ρ
predikatda
x
ni
erkin
(
ozod
)
o‘zgaruvchi
va
)
(
x
xΡ
mulohazada
x
ni umumiylik
kvantori
bilan
bog‘langan o‘zgaruvchi
deb ataladi.
2.2. Mavjudlik kvantori.
)
(
x
Ρ
predikat
M
to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Hech bo‘lmaganda
bitta
M
x
uchun
)
(
x
Ρ
predikat chin va aks holda yolg‘on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini
)
(
x
xP
shaklda yozamiz. Bu mulohaza
x
ga bog‘liq emas va uni quyidagicha o‘qish mumkin:
«shunday
x
mavjudki,
1
)
(
x
Ρ
», ya’ni
.
holda
aks
,
0
,
lganda
bo'
1
)
(
uchun
birorta
,
1
)
(
x
P
M
x
x
xP
simvol
mavjudlik kvantori
deb ataladi.
)
(
x
xP
mulohazada
x
o‘zgaruvchi
kvantori
bilan bog‘langan bo‘ladi.
1- m i s o l .
N
natural sonlar to‘plamida
)
(
x
Ρ
predikat berilgan bo‘lsin: «
x
– tub son».
Kvantorlardan foydalanib ushbu predikatdan quyidagi mulohazalarni hosil qilish mumkin:
)
(
x
xP
–
«Hamma natural sonlar tub sonlar bo‘ladi»;
)
(
x
xP
– «Shunday natural son mavjudki, u tub son
bo‘ladi».
Ravshanki, birinchi mulohaza yolg‘on va ikkinchi mulohaza chindir. ■
Ma’lumki,
)
(
x
xP
mulohaza faqat
)
(
x
Ρ
aynan chin predikat bo‘lgandagina chin qiymat qabul
qiladi.
)
(
x
xP
mulohaza bo‘lsa,
)
(
x
Ρ
aynan yolg‘on predikat bo‘lgandagina yolg‘on qiymat qabul
qiladi.
Kvantorli amallar ko‘p joyli predikatlarga ham qo‘llaniladi. Masalan,
M
to‘plamda ikki joyli
)
,
(
y
x
P
predikat berilgan bo‘lsin. Agar
)
,
(
y
x
P
predikatga
x
o‘zgaruvchi bo‘yicha kvantorli
amallarni qo‘llasak, u holda ikki joyli
)
,
(
y
x
P
predikatga bir joyli
)
,
(
y
x
xP
(yoki bir joyli
)
,
(
y
x
xP
) predikatni mos qilib qo‘yadi.
Bir joyli
)
,
(
y
x
xP
(
)
,
(
y
x
xP
) predikat faqat
y
o‘zgaruvchiga bog‘liq,
x
o‘zgaruvchiga esa
bog‘liq emas. Ularga
y
bo‘yicha kvantorli amallarni qo‘llaganimizda quyidagi mulohazalarga ega
bo‘lamiz:
)
,
(
y
x
xP
y
,
)
,
(
y
x
xP
y
,
)
,
(
y
x
xP
y
,
)
,
(
y
x
xP
y
.
2- m i s o l .
To‘g‘ri chiziqlar to‘plamida aniqlangan
)
,
(
y
x
P
: «
y
x
» predikatni ko‘raylik.
Agar
)
,
(
y
x
P
predikatga nisbatan kvantorli amallarni tadbiq etsak, u holda quyidagi sakkizta
mulohazaga ega bo‘lamiz:
1.
)
,
(
y
x
yP
x
– «Har qanday
x
to‘g‘ri chiziq har qanday
y
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar».
2.
)
,
(
y
x
xP
y
– «Shunday
y
to‘g‘ri chiziq mavjudki, u har qanday
x
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar».
3.
)
,
(
y
x
xP
y
– «Har qanday
y
to‘g‘ri chiziq uchun shunday
x
to‘g‘ri chiziq mavjudki,
x
to‘g‘ri chizig‘i
y
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
4.
)
,
(
y
x
xP
y
– «Shunday
y
to‘g‘ri chiziq va shunday
x
to‘g‘ri chiziq mavjudki,
x
to‘g‘ri
chiziq
y
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
5.
)
,
(
y
x
xP
y
– «Har qanday
y
to‘g‘ri chiziq har qanday
x
to‘g‘ri chiziqqga
perpendikulyar».
6.
)
,
(
y
x
yP
x
– «Har qanday
x
to‘g‘ri chiziq uchun shunday
y
to‘g‘ri chiziq mavjudki,
x
to‘g‘ri chiziq
y
to‘g‘ri chiziqqga perpendikulyar».
7.
)
,
(
y
x
yP
x
– «Shunday
x
to‘g‘ri chiziq va shunday
y
to‘g‘ri chiziq mavjudki,
x
to‘g‘ri
chiziq
y
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».
8.
)
,
(
y
x
yP
x
– «Shunday
x
to‘g‘ri chiziq mavjudki, u har qanday
y
to‘g‘ri chiziqqa
perpendikulyar». ■
Bu misoldan ko‘rinib turibdiki, umumiy holda kvantorlar tartibi o‘zgarishi bilan mulohazaning
mazmuni va, demak, uning mantiqiy qiymati ham o‘zgaradi.
Chekli sondagi elementlari bo‘lgan
}
,...,
,
{
2
1
n
a
a
a
M
to‘plamda aniqlangan
)
(
x
P
predikat
berilgan bo‘lsin. Agar
)
(
x
P
predikat aynan chin bo‘lsa, u holda
)
(
),...,
(
),
(
2
1
n
a
P
a
P
a
P
mulohazalar
ham chin bo‘ladi. Shu holda
)
(
x
xP
mulohaza va
)
(
...
)
(
)
(
2
1
n
a
P
a
P
a
P
kon’yunksiya ham chin
bo‘ladi.
Agar hech bo‘lmaganda bitta
M
a
k
element uchun
)
(
k
a
P
yolg‘on bo‘lsa, u holda
)
(
x
xP
mulohaza va
)
(
...
)
(
)
(
2
1
n
a
P
a
P
a
P
kon’yunksiya ham yolg‘on bo‘ladi. Demak,
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
n
a
P
a
P
a
P
x
xP
teng kuchli ifoda to‘g‘ri bo‘ladi.
Yuqoridagidek fikr yuritish yo‘li bilan
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
1
n
a
P
a
P
a
P
x
xP
teng kuchli ifodaning mavjudligini ko‘rsatish mumkin.
Bu yerdan kvantorli amallarni cheksiz sohalarda kon’yunksiya va diz’yunksiya amallarining
umumlashmasi sifatida qarash mumkinligi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: 
