1. O‘lchamning asosiy xususiyatlari

8. Kombinatorika elementlari: Kombinatsiyalar.
Ta'rif. Agar dan T elementlar guruhlarini tashkil qiladi NS har bir element, guruhdagi elementlarning tartibidan qat'i nazar, natijada hosil bo'lgan kombinatsiyalar deyiladi kombinatsiyalar dan T tomonidan elementlar NS.
Kombinatsiyalarning umumiy soni quyidagi formula bo'yicha topiladi:
9. Kombinatorika elementlari: joylashtirish.
Kopgina A chaqiriladi kichik to'plam ko'pchilik S(yoki 5 -to'plamda), agar to'plamning har bir elementi bo'lsa A to'plamning bir qismidir S. Belgilanishi: Is5.
Ifoda AqS shuningdek o'qiydi: "A. 5 dyuymga kiritilgan, "A. 5 dyuymdan iborat, "S o'z ichiga oladi A "," A. qism S ". Bilan belgisi chaqiriladi kiritish belgisi.
Keling, ushbu ta'rifni ramziy ravishda yozaylik:
Bu ta'rifdan kelib chiqadi: to'plam A ning kichik bir qismi hisoblanadi S agar va faqat gapdan bo'lsa ( u) jumla quyidagicha (xeS).
Keling, buni inkor etamiz AczS. Mantiq qonunlariga ko'ra, bizda:
Shunday qilib, jumla "Ko'pchilik A tarkibiga kiritilmagan S"Jumlaga teng" To'plamning elementi bor A bu yotmaydi S ".
Ikki to'plam A va V Rasmiy ravishda, inklyuziv belgilar bilan ikki xil tarzda ulanishi mumkin: A (z.B va Quyosh. Bu iboralarning har biri to'g'ri yoki yolg'on bo'lishi mumkin bo'lgan jumlani belgilaydi. Ikkinchi qo'shilish Ichida (shuningdek yozing A ^ B) birinchisiga nisbatan teskari deyiladi. Boshqa qo'shilish haqiqati har doim ham qo'shilishlardan birining haqiqiyligidan kelib chiqmaydi.
Misol 6.2.1. (-2; 0; 1; 2) bilan (-2; 2) qo'shilish sodir bo'ladi, chunki ikkala raqam ham (-2) va 2 to'plam elementlari (-2; 0; 1; 2). Biroq, (-2; 0; 1; 2) (-2; 2) ga kiritilmagan, chunki, masalan, 0r (-2; 2).
Misol 6.2.2. Bo'lsin A - barcha romblar to'plami, V - barcha kvadratchalar to'plami.
A ? V, chunki kvadrat bo'lmagan romb bor.
B v: A, chunki har qanday kvadrat - bu romb (bu raqamlarning ta'rifidan kelib chiqadi).
Boshqacha qilib aytganda, barcha kvadratchalar to'plami barcha romblar to'plamining pastki qismidir.
Misol 6.2.3. (NS| *: 12) c ( *| dg: 3), chunki *: 12 => *: 3 (o'zingizni oqlang). Biroq, teskari kiritish noto'g'ri, chunki x: 3fx ": 2(qarama -qarshi misol bering).
Ta'rifdan kelib chiqadiki, ya'ni har bir to'plam o'zining kichik to'plamidir.
Uning o'rniga olaylik A bo'sh to'plam. Keyin bayonot 0qS V * ga teng (xe0 xeS). Ta'kidlash sharti har doim noto'g'ri bo'lgani uchun, har qanday ob'ekt uchun q; xulosa to'g'ri. Shunday qilib, 0qS bayoni to'g'ri. Shunday qilib, bo'sh to'plam har qanday to'plamning kichik to'plamidir.

Xulosa: bo'sh bo'lmagan har qanday to'plam har doim ikkita kichik to'plamga ega - to'plamning o'zi va bo'sh. Ularga arzimas kichik guruhlar deyiladi. To'plamning o'zi noto'g'ri to'plam deb ham ataladi.

Kiritish S chaqirdi Shaxsiy, agar u mos kelmasa S. Yozib olish AaS degan ma'noni anglatadi A mos keladigan kichik to'plamdir S:
Belgi qat'iy qo'shilishning belgisidir.
Bizda ikkita munosabatlar bor: elementning to'plamga tegishli bo'lishi (e belgisi bilan belgilanadi) va to'plamlarning qo'shilish munosabati (v belgisi bilan belgilanadi). Umuman olganda, bu har xil belgilar. Masalan, (2) (2,3) bilan, lekin (2) * r (2,3). Biroq, ba'zida ikkala belgini ham to'plamlar orasiga qo'yish mumkin.
Misol 6.2.4. Kopgina A =(2) - bu to'plamning elementi V= (1,2, (2)). Qayerda A to‘plamning kichik qismi hisoblanadi V, shuning uchun to'plam elementlarining og'irligi A yotoqda cho'zilib yotmoq V(v A faqat bitta element bor - 2 raqami V).
Shunday qilib, (2) e (1,2, (2 "va (2) c (1,2, (2)).
Misol 6.2.5. Samolyotni ko'rib chiqing a va bu tekislikda yotgan to'g'ri chiziq. Agar biz tekis chiziqni tekislikning elementi deb hisoblasak, unda yozish odat tusiga kiradi lea Agar biz to'g'ri chiziqni berilgan to'g'ri chiziqqa tegishli nuqtalar to'plami deb tushunadigan bo'lsak, bu to'plam tekislikning barcha nuqtalari to'plamining kichik to'plami bo'ladi. Keyin / sa yozishingiz mumkin.
To'g'ridan -to'g'ri va teskari qo'shilishlar haqiqat bo'lsin AqB va B Bu holda, hamma uchun NS natijalar bajariladi heL -> heB va xgB-> xeL, bu hamma uchun .v u agar va faqat bo'lsa heB. Bu shuni anglatadiki, to'plamlar A va V mos:
Bu oddiy ko'rib chiqish deb nomlangan to'plamlarning tengligini isbotlash usuli yotadi ikki tomonlama kiritish usuli: A va B to’plamlarning tengligini isbotlash uchun to’plamlarning to’g’ridan -to’g’ri va teskari kiritilishini isbotlash kerak.
Aslida, bu fikr 6.1.3 -misolda to'g'ridan -to'g'ri qo'shilganidan beri ko'rsatildi Demak, bu predikatdan P (x), to'plamni sozlash A, predikat quyidagicha keladi Q (x) to'plamni aniqlash V, va teskari qo'shilish degan ma'noni anglatadi Q (x) kerak P (x). Yana bir misol keltiraylik.
Misol 6.2.6. Keling, to'plamlarni olaylik:
A = {2NS | neZ) - barcha juft raqamlar to'plami,
B - (xx = a + b, qayerda a va b - toq sonlar) - har biri ba'zi toq sonlarning yig'indisi bo'lgan barcha raqamlar to'plami.
Keling, buni isbotlaylik A = B.
Keling, qo'shilishning to'g'riligini ko'rsataylik A ^ B. Bo'lsin u, keyin bizda bor x = 2w = (2 / f-l) +1, ya'ni NS ikkita toq sonning yig'indisi sifatida ifodalanadi. Vositalar, heB.
Teskari qo'shilish ham to'g'ri Quyosh. Haqiqatan ham, ruxsat bering heB. Keyin x =(2/7 + 1) + (2A + 1) = 2 (/; + A "+1) = 2t. Vositalar NS - hatto, shunday u.
Ikkala qo'shilish ham isbotlangan. Shunday qilib, to'plamlar A va V tengdirlar.
Mashq. To'plamlar (2 / 7-1 yo'q Z) va (2/7 + 1 | emas Z) teng, ya'ni ikkalasi ham toq sonlar to'plamini belgilaydi.
Misol 6.2.7. E'tibor bering, to'plamlar A =(2-1 | // eN) va V- (2/7 + 1 | / 7 € N) ns teng, chunki IgA, lekin 1 & V. Shuning uchun, barcha toq musbat sonlar to'plami faqat to'plamni aniqlaydi L. Bunday holda, kiritish L ^ B to'g'ri
To'plam berilgan S. To'plamning barcha kichik guruhlari oilasi S chaqirdi S ning boolean to'plami(yoki S darajasi) va B (5) yoki bilan belgilanadi 2 s.
Ta'rif bo'yicha, B (5) = (X| AfcS).
0eB (5) va SeB (S) har qanday to'plam uchun aniq S.
Misol 6.2.8. Bo'lsin S= (1,2,3). Keling, bu to'plamning bulsanini topamiz.
E'tibor bering, mantiqiy elementlar to'plamlardir.
"To'plam darajasi" atamasi va unga mos keladigan belgi, agar bizda cheklangan // - elementar to'plam bo'lsa, uning mantiqiy elementlari soni 2 darajaga teng bo'lishidan kelib chiqadi. "Yuqorida ko'rib chiqilgan misol shuni ko'rsatadiki. Bu faktning isboti 3 -bobda keltirilgan. U erda biz // - elementar to'plam uchun o'zgarmas elementlar sonini o'z ichiga olgan kichik guruhlar sonini topishga imkon beradigan formulani ham ko'rib chiqamiz.

• 
  Ba'zi adabiyotlarda belgi o'zboshimchalik bilan kichik to'plamni bildiradi.
  

Dars ishlanma