1-mısal. Qálegen, hám sanlar ushın ekenligin dálilleń. Sheshiliwi

Sheshiliwi. funkciyasin qaraymiz. Barshe lar
ushın orınlı. Sonday eken, funkciya joqaridan qavariq. Yensen teńsizligine qarata

di alamiz.

teńsizlikti dálilleń.
Sheshiliwi. funkciyasin qaraymiz. Barshe on’ lar ushın orınlı. Sonday eken, funksiya óziniń aniqlaniw oblistinda joqaridan qavariq dep alamiz. Bul funkciya ushın Yensen teńsizligin jazamiz.


aqirǵi teńsizliktiń eki tárepin ge kóbeytemiz hám kerekli teńsizlikti alamiz.
7-misal. Teńsizlikti dálilleń

Bul jerde

Funkciyasin qaraymiz. Bárshe on’ lar ushın orınlı. Sonday eken funikciya aniqlaniw oblistinda joqaridan qavariq.
Bul funkciya ushın Yensen teńsizligin jazamiz .

eki tárepin n ǵa kóbeytemiz hám kerekli teńsizlikti alamiz.
Misal. hám úshlikler birdey tártiplengen hám úshlikler bolsa hár túrli tártiblengen.
on’ sanlar ushın yamasa bolsa, ol jaǵdayda hám úshlikler hár túrli hám úshlikler bolsa hár túrli tártiplengen, bul jerden n-qálegen natural san.
hám úshlikler berilgen bolsin.
úshlik sanlarıniń orın almastırıwi bolsin.
Ol jaǵdayda joqaridaǵi teoremaniń tómendegi zárúr bolǵan nátiyjelerin qaytalaymiz,

1. 
   Eger hám úshlikler birdey tártiplengen bolsin, ol jaǵdayda
   

teńsizlik orınlı.

2. 
   Eger hám úshlikler hár túrli tártiplengen bolsin, ol jaǵdayda
   

teńsizlik orınlı.
1-misal (Orta mánisler haqqındaǵI Koshi teńsizligi).
on’ sanlar ushın

teńsizlik orınlı, sol menen birge teńlik bolǵaninda orınlanadi.
Sheshiliwi. , , bolsin.
teńsizlikke iyemiz. Teńlik orınlaniwi ushın yaǵnıy boliwi zárúr hám jeterli.
2-misal. (Orta geometric va garmonik mánisler arasindaǵI teńsizlik) on’ sanlar ushın

teńsizlik orınlı, usıniń menen birge teńlik bolǵanda ǵana orınlanadi.
Sheshiliwi. Aldıńǵi misaldaǵi sanların qaraymiz. teńsizlikke qaray

teńsizlikke teń ekvivalent bolǵan usı

teńsizlikke iyemiz.
Teńlik orınlaniwi ushın yaǵnıy boliwi zárúr hám jetkilikli.
3-misal.(Orta kvadratik hám Orta arifmetik mánisler arasindaǵi teńsizlik)
Qálegen sanlar ushın

teńsizlik orınlı, sol menen birge teńlik bolǵanda orınlanadi.
Sheshiliwi.
teńsizlikke qarata

qatnasiqlarg’a iye bolamiz.
Bul teńsizliklerdıń bárshesin
teńlik penen qosip, nátitjede
teńsizlikti payda etemiz .
4-misal. (Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts teńsizligi)
sannan ibarat eki , izbe-izlik berilgen bolsin. Ol jaǵdayda

teńsizlik orınlı. Teńlik qandayda bir ózgermes san ushın bolǵanda ǵana orınlanadi.
Sheshiliwi. Eger yamasa bolsa , ol jaǵdayda teńsizlik orınlanadi. Soniń ushın

sanlar nólden pariqli dep esaplaymiz.
Tómendegishe aniqlanǵan izbe-izlikti qaraymiz:

Ol jaǵdayda

ge iye.
teńsizlikke kóre

ge iyemiz. Nátiyjede

teńsizlikti payda etemiz.
Esletip ótemiz, teńlik shárt orınlanǵanda boladı. Bul shárt bolsa shártine ekvivalent.
5-misal. (Chebishev teńsizligi).
n sannan ibarat eki izbe-izlik berilgen bolsin. Shama menen shart orınlansin.
Ol jaǵdayda

Eger

Eger
Dálil.
teńsizlikke kóre

qatnaslarǵa iye bolamiz, olardi qosip

yamasa

di payada etemiz

1. 
   Jaǵdayida soǵan uqsap dálillenedi.
   
2. 
   1-misal. Teńsizlikti dálilleń: , bunda a>0, b>0 c>0.
   
3. 
   Dáslep tómendegishe belgilew kiritemiz:
   
4. 
   . Bul teńlemeler sistemasin sheship a, b, c lardi mánislerdi tabamiz. boladi. Tabilǵan mánislerdi berilgen teńsizlikke qoyip ,
   
5. 
   nátiyjeni alamiz. Aqirǵi nátiyjege AM hám GM arasindaǵi múnásibet teńsizlikti qollasaq
   
6. 
   teńsizilik dálil bola aladi.
   
7. 
   2-misal. Úsh teris emes a, b, c sanlari ushın orta arifmetik hám orta geometric muǵdarlar arasindaǵi baylanis teńsizligin dálilleń:
   
8. 
   Mánisi úsh sanninń orta arifmetigne teń bolǵan tort sandi qaraymiz . Bul jerden x ti tabamiz. . Tabilǵan ti mánisi joqaridaǵi teńsizlikke qoysaq, ni payda etemiz.
   
9. 
   Bul teńsizlikti eki tárepin 4-dárejege kóteremiz: boladi, bunnan bolsa kelip shiǵadi. Nátiyjade boladi. Teńsizlik dálillenedi. Teńlik belgisi tek a=b=c shártte ǵana orinladi.
   
10.