1. Множества. Операции над множествами. Свойства операций. Множеством

9. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Т2.7 Пустьlin(n->)x_n=a иlim(n->)y_n=b, тогда

1. 
   lim(n->) (x_ny_n) = ab
   
2. 
   lim(n->) (x_n*y_n) = a*b
   
3. 
   lim(n->) (x_n/y_n) = a/b (b≠0)
   

Доказательства.

1. 
   Используем замечание 1 т.к. lim(n->)x_n=ax_n=a+_n (_n – б.м.п.); lin(n->)y_n=by_n=b+_n (_n– б.м.п.)
   

{x_ny_n}: x_ny_n = (ab)+(_n_n) = lim(n->)(x_ny_n)=ab. (_n_n) – б.м.п.

2. 
   x_n=a+_n; y_n=b+_n {x_n*y_n}: x_ny_n=(a+_n)(b+_n)=a*b+_nb+_na+_n*_n =>lim(n->)(x_ny_n)=ab; (_nb+_na+_n*_n) – б.м.п.
   
3. 
   x_n=a+_nи y_n=b+_n – бесконечно малые послед. Т.к. b≠0 пусть =|b|/2 тогда lim(n->)y_n=b=|b|/2 n₀N: n>n₀ |y_n-b|n>n₀ |y_n|>|b|/2 т.е. {x_n/y_x} определена n>n₀.
   

Рассмотримx_n/y_n – a/b = (a+_n)/(b+_n) – a/b = (_n*b-_n*a)/(b(b+_n)) = (1/y_n)*(_n-((a/b)*_n)).
(b+_n) – этоy_n; (_n-((a/b)*_n)) – б.м.п.; {1/y_n} ограниченат.к. n>n₀ |1/y_n|<2/|b|.
Потеореме(2,4) x_n/y_n=a/b+_n, где_n=(_n-(a/b)* _n) – б.м.п. lim(n->)(x_n/y_n)=a/b.
10. Теоремы о сохранении знака и предельном переходе в неравенствах.
Т2.8 о сохранении знака. Пусть {x_n} – числовая последовательность x_n>0 и lim(n->)x_n=a =>a≥0
● Предположим противное: a<0, тогда для <|a|/2 n₀Nn>n₀ |x_n-a|<; a-nn>n₀x_nn>0) теоремы. ●
Т2.9 о предельном переходе.
Пусть lim(n->)x_n=a и lim(n->)y_n=b и nNx_n≤y_n тогда a≤b
● Рассмотрим разность послед. {y_n-x_n} nNy_n-x_n>0 по арифм. свойствам. lim(n->)(y_n-x_n)=b-a, по теореме о сохранении знака (b-a)≥0; b≥a. ●
1 1. Теорема о промежуточной последовательности (о двух милиционерах).
Т2.10Пустьlim(n->)x_n=a, lim(n->)z_n=a n>n₀x_n≤y_n≤z_nтогдаlim(n->)y_n=a.
● Т.к. lim(n->)x_n=a >0 n₁n>n₁ |x_n-a|< a-nLim(n->)z_n=a >0 n₂n>n₂ |z_n-a|< a-nПусть n^~=max{n₀, n₁, n₂} n>n~
a-1≤y_n≤z_n |y_n-a|<т.к. lim(n->)y_n=a ●
12. Монотонные последовательности. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности.
Последовательность {x_n} называется:

1. 
   Убывающей если nNx_n+1n
   
2. 
   Не возрастающая если nNx_n+1≤x_n
   
3. 
   Возрастающая если nNx_n+1>x_n
   
4. 
   Не убывающая если nNx_n+1≥x_n
   

Последовательности 1-4 называются монотонными.
Т2.11 Неубывающая и ограниченная сверху последовательность сходится. Lim(n->)x_n=sup{x_n}
● Т.к. {x_n} ограничена сверху, значит существует единственная точная верхняя грань. sup{x_n}=a (nNx_n≤a)(>0 n₁: x_n1>a-). Т.к. {x_n} неубывающая =>nx_n+1≥x_n. Далееn>n₁ a-n1 |x_n-a|< => a=sup{x_n} = lim(n->)x_n.
Т2.12 Невозрастающая и огранич. снизу послед.тоже сходится (аналогично). Lim(n->)x_n=inf {x_n}.
Замечание . {x_n} – сходящаяся => {x_n} – ограниченная.
{x_n} – монотонна и ограничена => {x_n} – сходящаяся.
14. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Пусть x₁, x₂ ..x_n – некоторая последовательность, а n₁2<…k – возрастающая послед.натуральных чисел. Тогда последовательность x_n1, x_n2 … x_nk называется подпоследовательностью послед. {x_n}. Обозначается {x_nk} (информация: k-индекс n)
Т2.13Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сход.послед.
● Пусть {x_n} ограничена a,bRa≤x_n≤bnN. Рассмотрим [a,b]: разделим его пополам и выберем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов последовательности {x_n} и обозначим [a₁,b₁] (если в обеих половинах беск. число, то берем любую). Теперь разделим [a₁,b₁] пополам и снова выберем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов последовательности {x_n}, и обозначим [a₂,b₂] и т.д. {[a_k, b_k]}_k=1^b_k-a_k=(b-a)/2^k имеет одну общую точку с[a_k, b_k] kNa_k≤c≤b_k.
При этом {a_k} неуб. и огранич. сверху => {a_k} – сходящ.; {b_k} невозр. и огранич. снизу => {b_k} – сходящ.
0≤с-a_k≤b_k-a_k = (b-a)/2^k -> (k->) по теореме о двух милиц.
0≤b_k-c≤b_k-a_k аналогично lim(k->)(b_k-c)=0 =>lim(k->)b_k=c.
П остроим {x_n} следующим образом: x_n1 – любой, например 1-й элемент {x_n} из [a₁,b₁]. X_n2 – любой например 2-й элемент {x_n} из [a₂, b₂] при этом a_k≤x_n≤b_k.
Ат.к. lim a_n = limb_n = c =>limx_nk = c ●
15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Последовательность {x_n} называется фундаментальной, если >0 n₀=n₀()Nm>n₀ |x_n-x_m|<.
Эквивалентное: {x_n} фундаментальна >n₀=n₀()Nn>n₀pN |x_n+p – x_n|<
Т2.14. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность {x_n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
● Необходимое: пусть lim(n->)x_n=a>0 n₀=n₀()N; n>n₀ |x_n-a|</2 m>n₀ |x_m-a|</2; |x_n-x_m| = |x_n-a+a-x_m|≤|x_n-a|+|x_m-a|<; n,m {x_n} – фундаментальная.
Достаточное. Пусть {x_n} – фундаментальная.

1. 
   Ограниченность. =1 n₀n>n₀m=n₀+1 |x_n-x_n+1|<=1. Тогда |x_n|= |x_n- x_n0+1+ x_n0+1| ≤ | x_n- x_n0+1|+|x_n0+1|<1+|x_n0+1| n>n₀M=max{x₁, x₂…x₀, 1+x_n0+1} =>nN |x_n|≤M => {x_n} – огранич.
   
2. 
   Сходимость. {x_n} – огранич. => по теореме Больцано-Вейерштрасса из {x_n} можно выделитьсходящ. послед. {x_nk}: lim(n->)x_nk=0 =>>0 nNk>n₀ |x_nk-a|</2. {x_n} –фунд. =>>0 n₀n_k>n₀ |x_nk – x_n|</2. Рассмотрим разность |x_n-a| = |x_n-x_nk+x_nk-a| ≤ |x_n-x_nk|+|x_nk-a| </2+/2=.
   

n>n~=max{n_k0,n₀} =>limx_n = a. ●


16. Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке.
Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой окрестности точки а содержится бесконечное число элементов множества Х. f(X) – множество предельных точек множества Х.
Пусть функция f: XR ->R, af(X).
Определение по Коши. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если >0 б=б()N: xX 0<|x-a|<б => |f(x)-b|<lim(x->a)f(x)=b.
Определение по Гейне. Число b называется пределом функции f(x) в точке х=а, если {x_n}: x_nN; nNx_n≠a =>lim(n->)f(x)=b.
Т3.1 об эквивалентности определений предела функции. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

1. 
   К =>Г. ● Пусть lim(x->)f(x)=b по Коши, т.е. >0 б()N: xX 0<|x-a|<б => | f(x)-b |<. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n} x_nX, nN, x_n≠a, lim(n->)x_n=a для данного б() n₀N: n>n₀ 0<|x_n-a|<б тогда по опр. Коши => |f(x)-b|< =>lim(n->)f(x_n)=b =>дляпроизвольной послед {x_n} x_nX, x_n≠alim(n->)x_n=a =>lim(n->)f(x_n)=b ●
   
2. 
   Г=>К. ● Пусть lim(x-a)f(x)=b по Гейне, т.е. {x_n}: x_n≠a, xX, nNlim(n->)x_n=a =>lim(n->)f(x_n) = b. Предположим противное тому, что требуется доказать. Противное: >0 б>0 xX (0<|x-a|<б) ( |f(x)-b|≥). Выберем S_n=1/n, тогда x_nX (0<|x_n-a|<1/n)  (|f(x_n)-b|≥) из левого неравенства =>lim(n->)x_n=a по гейнеlim(n->)f(x_n)=b, а это противоречит тому, что |f(x_n)-b|≥. Полученное противоречие доказывает теорему.
   

17. Свойства пределов функции в точке: единственность предела, локальная ограниченность, сохранение знака.
ДОРИСОВАТЬ В ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТРОЧКЕ ВТОРОГО ДОКВА И ДАЛЬШЕ ДЛЯ U
Т3.2 о единственности предела. Если функция f(x) имеет предел в точке х=а, он единственный.
● Предположим противное. Пусть  2 предела lim(x->a)f(x)=b₁; lim(x->a)f(x)=b₂; b₁≠b₂. Пусть b₁2. Возьмем <(b₂-b₁)/2, тогда >0 б₁>0 xX: 0<|x-a|<б₁ => |f(x)-b₁|<; b₁-<f(x)<b₁+ и б₂xX: 0<|x-a|<б₂ => |f(x)-b₂|<; b₂-<(x)<b₂+. Тогда для б=min{б₁, б₂} подчеркнутые неравенства выполняются одновременно, что невозможно, т.к. -окрестности не пересекаются. Противоречие. ●
Т3.3 о локальной ограниченности. Если функция f(x) имеет предел в точке х=а, то  окрестность этой точке, в которой функция ограничена.
● Пустьlim(x->a)f(x)=b б()>0: xX (a) => |f(x)-b|<. Фиксируем.Тогда b- |f(x)|≤Mx (a) ●
Т3.4 о сохранении знака. Еслиlim(x->a)f(x)=b>0 то (a) f(x)>0 x (a)
● Выберем a)f(x)=b>0 б x (a) => |f(x)-b|<=>b-1 8. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции.
ВСТАВИТЬ ДЛЯ U
Т3.5 о предельном переходе в неравенствах. lim(x->a)g(x)=b₁ , lim(x->a)f(x)=b₂иx (a) g(x)≤f(x) то b₁≠b₂.
● Предположим противное. b₁>b₂, по усл. lim(x->a)g(x)=b₁>0 б₁()>0 x (a) => |y(x)-b₁|< также для того же б₂>0 x (a) => |f(x)-b₂|<. Обозначим б=min{0, б₁, б₂} тогда x (a) при <(b₁-b₂)/2. f(x)1+1-Т3.6 о пределе промежуточной функции. Пустьlim(x->a)h(x)=b, lim(x->a)g(x)=b иx (a): h(x)≤f(x)≤g(x) тогдаlim(x->a)f(x)=b.
● б=min{0, б₁, б₂} x (a) b-≤h(x)≤f(x)≤g(x) |f(x)-b|<илиlim(x->a)f(x)=b ●
19. Критерий Коши существования предела функции.
ПРОСТАВИТЬ ДЛЯ U
Функция f(x) удовлетворяет условию Коши в окрестности точки аX (f: X->R), если >0 б()>0: x^I, x^II (a) => |f(x^I)-f(x^II)|<.
Т7.3 Для того, чтобы функция f: X->R имела предел в точке х=а, необходимо и достаточно, чтобы она в окрестности точки а удовлетворяла условию Коши.
● Необходимость. Пусть lim(x->a)f(x) >0 б>0 x^IX 0<|x^I-a|<б => |f(x^I)-b|</2; x^IIX 0<|x^II-a|<б => |f(x^II)-b|</2. Рассмотрим разность: |f(x^I) – f(x^II)| = |f(x^I)-a+a-f(x^II)| ≤ |f(x^I)-a| + |f(x^II)–a| = /2+/2=.
Достаточность. Пусть f(x) удовлетворяет условию Коши в точке x=a>0 б>0: x^I, x^II (a) => |f(x^I)-f(x^II)|<. Рассмотрим произвольную последовательность {x_n} x_nX, x_n≠a, lim(n->)x_n=a. б>0 n₀: n>n₀ 0<|x_n-a|<б; m>n₀ 0<|x_m-a|<б т.к. x_n, x_m (a) => по условию Коши |f(x_n)-f(x_m)|<. Это значит, что послед {f(x_n)} – фундаментальная => по критерию Коши для последовательности lim(n->)f(x_n). Рассмотрим {x^I_n}. x^I_n≠a, lim(n->)x^I_n=ax_nX. Аналогично рассуждая получим lim(n->)f(x_n)=b^I. Рассмотрим {x^II₀} = {x₁, x^I₁, x₂, x^I₂…} Т.к. lim(n->)x_n^II=b^II. Но последовательность {x^II_n} не может быть сходящейся т.к. у нее существует по крайней мере 2 различных пределаb и b^I=>b-b^I=b^II. Lim(x->a)f(x)=b ●