1. Множества. Операции над множествами. Свойства операций. Множеством

Следствия из аксиом сложения и умножения.
В Rнуль единственный. ● 01 и 02, тогда 01=01+02=02+01=02 ●
xR -(-x)=x ● –(-x)+0=-(-x)+((-x)+x)=(-(-x)+(-x))+x=0+x=x ●
xR x*0=0 ● x*0 = x*0+0=x*0+(x+(-x))=x*0+x*1+(-x)=x(0+1)+(-x)=x+(-x)=0 ●
xR -x=(-1)x ● –x=-x+0=-x+x*0=-x+x(1+(-1)) = -x+x*1+x(-1)=(-1)*x ●
(-1)(-1)=1 ● (-1)(-1)=(-1)(-1)+0=(-1)(-1)+(1+(-1))=(-1)((-1)+1)+1=(-1)*0+1=1 ●
 xR!(-x)R ● Пусть для xR против. элементы х1; x2R. x1=x1+0=x1+(x+x2)=(x1+x)+x2=0+x2=x1●
xR ! x-1R ● xR x-11; x-12R x-11=x-11*1=x-11(x*x-12)=(x-11*x)x-12=1*x-12=x-12 ●
О чевидно, что x,yвыполняется одно из соотношений xy. Имеют место соотношения аналогичные А12-А14.
x,z,yR (x (xx,y,zR xx+zx,yR (0 (0(0 (-x)<0 ● 0 0+(-x) (-x)<0 ●
x,yR (x<0)(0 x*y<0 ● (x<0)(0 (0<(-x))(0 0<(-x)y => 0<(-1)xy =>xy<0 ●
x,yR (x<0)(y<0) => 0 (0<(-x))(0<(-y)) => 0<(-x)(-y) => 0<(-1)(-1)xy => 0<1*xy ●
x,yR (0 y<0
0<1 ● Пусть 1<0 тогда (1<0)(1<0) => (0<1*1)=> 0<1 – противоречие 1<0


3. Sup и inf числового множества. Теорема об их
существовании.
(𝑆 = sup𝑋) ≔ (∀𝑥∈𝑋𝑥 ≤ 𝑆)˄(∀𝜀> 0 ∃𝑥 ̃ ∈𝑋𝑥 ̃ >𝑆 − 𝜀)
(S = sup x): = (xXx≤S)  (S^*< S x^*X: x^*>S^*)
(S = sup x): = (xXx≤S)  (>0 x^*X: x^*>S-)
(I = inf x): = (xXx≥I)  (>0 x^*X: x^*< I+)
(I = infx): = (xXx≥I)  (I^*>Ix^*X: x^**)
Т.1.1 Всякое непустое ограниченное сверху мн-во 𝑋𝑐𝑅имеет
и при том единственную sup.
► Существование: 𝑌 = {𝑦∈𝑅∀𝑥∈𝑋𝑥 ≤ 𝑦} мн-во верхних
граней мн-ва𝑋. 𝑋и 𝑌непустые.
По аксиоме полноты ∃𝑆∈𝑅: 𝑥 ≤ 𝑆 ≤ 𝑦.
Из левой части: 𝑆– верхняя грань; из правой: 𝑦– sup.
Единственность: пусть 𝑆1 и 𝑆2 – supмн-ва𝑋, 𝑆1 ≤ 𝑆2.
Тогда 𝑆2 = sup𝑋, для 𝑆1 ≤ 𝑆2 ∃𝑥 ̃ ∈𝑋𝑥 ̃ ≥ 𝑆1, что
противоречит тому, что 𝑆1 = sup𝑋.◄
Т.1.2 Всякое непустое ограниченное снизумн-во 𝑋𝑐𝑅имеет
и при том единственную inf.
► Существование: 𝑌 = {𝑦∈𝑅∀𝑥∈𝑋𝑦 ≤ 𝑥} мн-во нижних
граней мн-ва𝑋. 𝑋и 𝑌непустые. По аксиоме полноты
∃𝐼∈𝑅: 𝑦 ≤ 𝐼 ≤ 𝑥.
Из правой части: 𝐼– нижняя грань; из левой: 𝑦– inf.
Единственность: пусть 𝐼1 и 𝐼2 – infмн-ва𝑋, 𝐼1 ≤ 𝐼2.
Тогда 𝐼1 = inf𝑋, для 𝐼1 ≤ 𝐼2 ∃𝑥 ̃ ∈𝑋𝑥 ̃ ≤ 𝐼1, что противоречит
тому, что 𝐼2=infX