1. Множества. Операции над множествами. Свойства операций. Множеством

4 .Теоремы о вложенных и стягивающихся
отрезках.
Система отрезков [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], 𝑛∈𝑁наз. системой
вложенных отрезков, если [𝑎𝑚, 𝑏𝑚]𝑐[𝑎𝑛, 𝑏𝑛], ∀𝑚>𝑛.
Т1.6 Любая система вложенных отрезков имеет
общую точку.
► 𝐴 = {𝑎𝑛}, 𝐵 = {𝑏𝑛}, мн-ва – непустые,
∀𝑥∈𝐴, ∀𝑦∈𝐵, 𝑥 ≤ 𝑦. По аксиоме полноты
∃𝑐∈𝑅: 𝑥 ≤ 𝑐 ≤ 𝑦, т.е. с ∈ [𝑎𝑛, 𝑏𝑛], ∀𝑛∈𝑁. ◄
Система вложенных отрезков наз. стягивающейся
если ∀𝜀> 0 ∃𝑛0 ∈𝑁: ∀𝑛>𝑛0 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛<𝜀.
Т1.7 Любая система стягивающихся отрезков имеет
одну общую точку.
►Пусть с1 и с2 – 2 точки, с1 < с2,
тогда для ∀𝑥∈𝐴, ∀𝑦∈𝐵имеет место
𝑥 ≤ с1 <𝑐2 ≤ 𝑦⇒𝑦 − 𝑥 ≥ 𝑐2 − 𝑐1,
т.е. ∀𝑛∈𝑁𝑏𝑛 − 𝑎𝑛<𝑐2 − 𝑐1, что противоречит теореме.
5. Счётность множества рациональных чисел. Множества
мощности континуум.
Т1.3 Мн-во рациональных чисел счётно𝑄~𝑁.
► Представим рациональные числа (Q) в виде несократимой дроби
𝑟 =𝑝/𝑞 (𝑝∈𝑍, 𝑞∈𝑁), (0 = 0/1). Высотой 𝑄 назовём число ℎ = |𝑝| + 𝑞. Тогда у каждого 𝑄∃ℎ, и число 𝑄 с данной ℎ конечно. Занумеруем 𝑄 по
мере возрастания ℎ. (ℎ= 1: 0=0/1;ℎ=2: – 1=-1/1; 1 =1/1). Тогда любому 𝑄 будет поставлен в соответствие номер. Тем самым построено взаимно
однозначное соответствие номеру либо разности 𝑄, при котором нет
чисел 𝑁. ◄
Т1.5 Сумма конечного или счётного числа счётных множеств – счётное
мн-во.
► Пусть 𝐴 1, 𝐴2 и т.д. – счётное мн-во счётных мн-в. Занумеруем
элементы мн-ва𝐴 = ⋃∞ 𝑘=𝑖𝐴𝑘 следующим образом:
𝐴1{𝑎11, 𝑎12, 𝑎13 … }
𝐴2{𝑎21, 𝑎22, 𝑎23 … }
𝐴3{𝑎31, 𝑎32, 𝑎33 … }
пропуская уже встречавшиеся элементы. Таким образом, элементы мн-ва𝐴 = ⋃𝐴𝑘счётно занумерованы, следовательно, оно счётно. ◄
Т1.8 Множество всех точек отрезка [0;1] несчётно.
► Предположим противное, т.е. мн-во точек [0; 1] = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … }.
Разобьём отрезок [0;1] на 3 части [0; 1 3] , [1 3 ; 2 3] , [2 3 ; 1] и выберем тот, в
который не попала 𝑥1. Выбранный отрезок снова р азобьём на 3 части и
выберем тот, в который не попала 𝑥2 и т.д. В результате получим
систему стягивающихся вложенных отрезков, имеющих 1 общую точку, которая не совпадает ни с одним из элементов мн-ва. Полученное противоречие доказывает теорему. ◄
Мн-во, эквивалентное мн-ву отрезка [0;1] наз. мн-вом мощности
континуума. Следовательно, мн-во иррациональных чисел несчётно.