1-mavzu to’plam elementlari. Bo’sh va qism to’plam

Tarqatma materiallar.



1.Ketma ket keluvchi 3 ta natural son kublarining yig’indisi 9 ga bo’linishini isbotlang.
2. Agar n N bo’lsa , (3²ⁿ⁺¹+40n-67):64 bo’lishini isbotlang.
3. Agar a N bo’lsa , (a⁵+5a³+4a);120 bo’lishini isbotlang.

4-ilova

Mustaqil yechish uchun uyga vazifa:

A.Abduhamidov,H.Nasimov,U, Nosirov” Algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar to’plami”45-47 bet 9.10 – 9.12.

10MAVZU: MATEMATIK INDUKTSIYA PRINTSIPINING AKSIOMALARI

REJA

1. Matematik induktsiya printsipi.

2. Matematik induktsiya printsipining qo'llanilishi.

1+3+5+7+...+(2n-1)+n² (1)

tenglikka qaytamiz.

A(1), A(2), A(3), A(4), A(5),

A(5)=1+3+5+7+9=25=5²

A(6)=36=(5+1)²=6²

A(5) rostligidan A(6) rostligi kelib chiqadi.

A(5)  A(6)

A(k)  A(k+1) ekanini isbotlaymiz.

1+3+5+...+(2k-1)=k² tenglikdan

1+3+5+...+(2k+1)=(k+1)² tenglik kelib chiqadi.
Bu printsipni ifodalaymiz:

Agar A(n) fikr (bunda n-natural son) n=1 uchun rost bo'lib va uning n=k uchun rostligidan n=k+1 rostligi kelib chiqadi, u holda bu A(n) fikr istalgan n uchun o'rinli bo'ladi.

Matematik induksiya natural sonlar arifmetikasining aksionalaridan biri bo'lib, matematikada keng qo'llaniladi.

3-Misol. N ning har qanday qiymati uchun

yig'indi hisoblansin.

Yechish. Bu yig'indini S_n-bilan belgilaymiz. S_n-ni topish uchun dastlabki S₁, S₂, S₃, S₄ ... qiymatlarini hisoblaymiz.

Shunday qilib,

Bu tenglikni rostligini isbotlash uchun matematik induksiya prinsipi metodidan foydalanamiz.

1. n=1 A(1) o'rinli

2. n=k, ya'ni farazimiz o'rinli deb

3. n=k+1 uchun A(k)  A(k+1) ekanini isbotlaymiz.

.

Bundan esa berilgan tengsizlik nN uchun o'rinli bo'lishi kelib chiqadi:

nN uchun:

3. MATEMATIK INDUKTSIYA PRINTSIPINING QO'LLANISHI.
4-Misol. n²+5n yig'indi har qanday natural n da 6 ga bo'linishini isbotlansin.

x_n= n²+5n

1) n=1 da x₁= 1²+51=6 :6 bo'linadi.

x(k)  x(k+1) ekanini isbotlaymiz, ya'ni "X_k ning 6 ga bo'linishi" dan X_k+1 bo'linishligini isbot qilamiz.

Ikkinchi qo'shiluvchi 6 ga bo'linadi. Demak X_k+1 yig'indi 6 ga bo'linadi.