1-мавзу. Технологик жараёнлар ва ишлаб чиқаришни автоматлаштириш соҳасига оид асосий атама ва тушунчалар Режа

9-мавзу: Технологик жараёнларнинг чизиқли тизимларини турғунлик шартлари билан танишиш. Турғунликнинг Гурвиц мезони.
Режа:

1. 
   Чизиқли тизимларининг турғунлик шартлари.
   
2. 
   Гурвитс мезони.
   
3. 
   Гурвитс мезони ҳисоби
   

Комплекс текислигида характеристик тенглама илдизларининг мавҳум ўққа нисбатан жойлашганлигини аниқлайдиган қоидаларга турғунлик меъзонлари дейилади.
АБС нинг характеристик тенгламаси берилган бўлсин
. (9.1)
Шу характеристик тенглама коэффициентларидан тузилган жадвалга Гурвиц аниқловчиси ёки детерминанти дейилади.
Гурвиц аниқловчисини тузишда қуйидаги қоидага риоя қилиш керак:

1. 
   бош диоганал бўйича «а₁» дан то «а_н» гача ўсиш тартиби билан ёзиб чиқилади;
   
2. 
   бош диоганалга нисбатан қаторларнинг пастга томон индекслари камаювчи, юқорига томон индекслари ўсиб борувчи коэффициентлар билан тўлдирилади;
   
3. 
   индекслари нолдан кичик ҳамда «н» дан катта бўлган коэффициентлар ўрнига ноллар ёзилади;
   
4. 
   Гурвиц аниқловчисининг юқори тартиби характеристик тенгламанинг даражасига тенг бўлади;
   
5. 
   Гурвиц аниқловчисининг охирги тартиби га тенгдир.
   

Гурвиц мезонининг таърифи:
Агарда бўлиб, Гурвицнинг ҳамма аниқловчилари нолдан катта бўлса, у ҳолда система турғун бўлади, яъни бўлганда ; ; бўлиши керак. бўлиши Гурвиц аниқловчисининг тузилиш структурасидан келиб чиқади. Шунга кўра, агар бўлса, система турғунлик чегарасида бўлади. Бу тенглик эса икки ҳолда, яъни ёки бўлганда бажарилиши мумкин.
Агарда бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг апериодик чегарасида бўлади (яъни характеристик тенгламанинг битта илдизи нолга тенг бўлади).
Агарда бўлса, унда текширилаётган система турғунлик ҳолатининг тебранма чегарасида бўлади (яъни характеристик тенглама жуфт мавҳум илдизга эга бўлади).
Энди га тенг бўлган тенгламалар билан ифодаланган системалар учун Гурвиц мезонининг шартларини кўриб чиқамиз.

1. 
   
   

Бунда ; турғунлик шарти бўлади. Демак, биринчи тартибли системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффициентларининг мусбат бўлиши етарлидир.

2. 
   .
   

Бунда турғунлик шартлари қуйидагича бўлади:
а₀=0;

Демак, иккинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системаларнинг турғун бўлиши учун характеристик тенглама коффицентларининг мусбат бўлиши етарли шарт ҳисобланади.

3. 
   
   

Турғунликнинг зарурий шартлари:
а₀>0;


Шундай қилиб, учунчи тартибли тенглама билан ифодаланган система турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффицентларининг мусбат бўлиши етарли бўлмай, бунда тенгсизликнинг бажарилиши зарур шарт ҳисобланади.
г)
Турғунлик шартлари:
а₀>0;
;
;
.
Тўртинчи тартибли тенглама билан ифодаланган системалар турғун бўлиши учун характеристик тенглама коэффицентларининг мусбат бўлишидан ташқари яна икки шартлар бажарилиши керак.
Характеристик тенгламанинг даражаси «н» ортган сари юқоридаги каби бажарилиши керак бўлган шартлар ҳам кўпайиб боради. Шунинг учун турғунликнинг Гурвиц мезонининг н≤4 бўлган системалар учун қўллаш мақсадга мувофиқ бўлади.
Мисоллар:
1. 12п³+10п²+8п+10=0 характеристик тенглама берилган бўлсин.
Бунда а₀=12>0, а₂=8>0,
а₃=10>0, а₃=10>0
Гурвиц мезонининг етарли шарти бажарилган. Энди зарур шартини аниқлаймиз. Бунинг учун

Нолдан кичик бўлганлиги сабабли система нотурғун бўлади.
.

2. 0.1п⁴+6п³+4п²+п+4=0 тенглама берилган бўлсин.
Бунда а₀=0.1>0, а₁=6>0, а₂=4>0,
а₃=1>0, а₄=4>0.

=а₁а₂-а₀а₃=6*4-0.1*1=24-0.1=23.9>0;
=1*23.9-2²*4=23.9-16=7.9>0.
=4*7.9=31.6>0.
Гурвиц мезонининг етарли ва зарурий шарти бажарилганлиги сабабли система турғун.

1. 
   3п⁵+10п⁴+5п³-7п²+п+100=0 тенглама берилган бўлсин.
   

Бунда а₀=3>0, а₁=10>0, а₂=5>0,
а₃=-7<0, а₄=1>0, а₅=100>0.
а₃=-7 манфий ишорали бўлганлиги сабабли Гурвиц мезонининг зарурий шарти бажарилмаяпти. Шунинг учун бу система нотурғун.