1-мавзу. Технологик жараёнлар ва ишлаб чиқаришни автоматлаштириш соҳасига оид асосий атама ва тушунчалар Режа

Турғунлик шартлари. Ляпунов теоремалари.
Кириш катталиги х(т) ва чиқиш катталиги й(т) бўлган системани кўриб чиқамиз (2-расм).


8.2-расм.
Системанинг харакат тенгламасини умумий кўринишда қуйидагича ёзиш мумкин:
. (8.1)
Системанинг турғун ёки нотурғунлигини кўриш учун (8.1) тенгламанинг ечимини аниқлаш керак бўлади.
, (8.2)
бу ерда й_м(т) – (8.1) тенгламанинг хусусий ечим бўлиб (мажбурий ташкил этувчи), системада мувозанат режимини ифодалайди; й_э(т) – (8.1) тенгламанинг ўнг томони нолга тенг бўлгандаги умумий ечими бўлиб (эркин ташкил этувчиси), у тенгламанинг ўткинчи режимини ифодалайди.
бўлганда (8.3)
бўлиши системанинг турғунлигини ифодалайди.
Агар (8.3) шарт бажарилса, унда система турғун бўлади. (8.1) тенгламанинг ўткинчи (эркин) ташкил этувчиси й_э(т)
(8.4)
тенгламанинг ечимини ифодалайди.
Бу тенгламадан кўриниб турибдики, унинг ечими (8.1) тенгламанинг ўнг томонидаги б_и коэффициентга ва х(т) функциянинг ўзгариш характерига боғлиқ эмас экан. (8.3) шартга кўра, системанинг турғунлиги ёки нотурғунлиги коэффициентлар б_и ва кириш катталиги х(т) функцияга боғлиқ эмас экан
Демак, системанинг турғунлиги унинг ички хусусияти бўлиб, унга таъсир этувчи сигналларга боғлиқ эмас.
(8.4) тенгламанинг ечимини аниқлаш учун характеристик тенгламани оламиз:
, (8.5)
бу ерда п₁, п₂, …, п_н – (8.5) характеристик тенгламанинг илдизлари бўлиб, улар хар хил бўлсин, унда (8.4) тенгламанинг ечимини қуйидаги кўринишда кўрсатиш мумкин:
(8.6)
с_и – системага қуйилган бошланғич шартлар бўйича аниқланадиган ихтиёрий ўзгармас сон.
Шундай қилиб, чизиқли системанинг турғунлигини характеристик тенгламанинг илдизлари аниқлар экан. Илдизлар эса ҳақиқий, комплекс ва мавҳум бўлиши мумкин.
Чизиқли система узатиш функцияси W(п) нинг ҳамма қутблари ҳақиқий қисмининг манфий ишорага эга бўлиши унинг турғун бўлишининг зарур ва етарли шарти ҳисобланади.
Узатиш функциясининг махражидаги полиномнинг илдизларини узатиш функциясининг қутблари, суратидаги полиномнинг илдизларини узатиш функциясининг ноллари дейилади.
Очиқ система учун
. (8.7)
Очиқ система узатиш функциясининг характеристик тенгламаси Қ(п)=0 нинг илдизлари ҳақиқий қисмининг манфий бўлиши очиқ системанинг турғун бўлишининг етарли ва зарур шартидир.
Берк система учун
, (8.8)
А(п)=1+W(п)=0 – берк системанинг характеристик тенгламаси.
Берк система характеристик тенгламаси А(п)=0 илдизлари ҳақиқий қисмининг манфий бўлиши унинг турғун бўлишининг етарли ва зарурий шартидир.
Турғунликнинг бу шарти А.М.Ляпунов томонидан ночизиқли системаларнинг чизиқлантирилган тенгламалари учун исботланди ва қўлланилди. Қуйида бу теоремани исботсиз келтирамиз:
1–теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламаси ҳамма илдизларининг ҳақиқий қисми манфий бўлса, унда реал система хам турғун бўлади, яъни жуда кичик ночизиқли ҳадлари системанинг турғунлик холатига таъсир кўрсата олмайди.
2–теорема: Агарда чизиқлантирилган система характеристик тенгламасининг бирорта илдизи мусбат ҳақиқий қисмга эга бўлса, унда реал система нотурғун бўлади, яъни жуда кичик ночизиқли ҳадлари системани турғун қила олмайди.
3–теорема: Агар чизиқлантирилган система характеристик тенгламасининг илдизлари мавҳум ёки нолга тенг бўлса, унда реал система турғунлик чегарасида бўлади, бунда жуда кичик ночизиқли ҳадлар ўткинчи жараён кўринишини тубдан ўзгартириб юбориши, ҳамда реал системани турғун ёки нотурғун ҳолатга келтириши мумкин.
Шундай қилиб, система турғунлигини тадқиқ этиш унинг характеристик тенгламаси илдизларининг ишорасини аниқлашдан, яъни характеристик тенглама илдизларини комплекс текислигида мавҳум ўққа нисбатан қандай жойлашганлигини аниқлашдан иборат экан.

8.3-расм. Характеристик тенглама илдизларини комплекс текислиги
Комплекс текислигида характеристик тенглама илдизларининг мавҳум ўққа нисбатан жойлашганлигини аниқлайдиган қоидаларга турғунлик меъзонлари дейилади.
Системанинг турғунлик масалаларини ечишда қуйидаги турғунлик мезонларидан фойдаланилади:
1) Турғунликнинг алгебраик мезонлари:
а) Гурвиц мезони;
б) Раусс мезони.
2) Турғунликнинг частотавий мезонлари:
а) Михайлов мезони;
б) Найквист мезони;
в) Турғунликнинг логарифмик мезони.
3) Д – бўлиниш усули.