|
Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. Matematik kutulish,
dispersiya, o`rta kvadratik chetlanish.
Diskret tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari
Matematik kutilma tasodifiy miqdor o’rtacha qiymatining sonli
xarakteristikasi sifatida xizmat qiladi.
Diskret tasodifiy miqdorning
matematik kutilmasi
deb uning barcha
mumkin bo’lgan qiymatlarini mos ehtimolliklariga ko’paytmasining yig’indisiga
aytiladi.
n
n
p
x
p
x
p
x
MX
2
1
1
Agar tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari sanoqli bo’lsa, u
holda
1
k
k
k
p
x
MX
.
Matematik kutilmaning xossalari:
1.
;
C
MC
2.
MX
C
CX
M
;
3.
MX
MX
Y
X
M
;
Ikki tasodifiy miqdor bog’liqsiz deyiladi, agar ulardan birining taqsimot
qonuni ikkinchisining qanday qiymat qabul qilganligiga bog’liq bo’lmasa va
aksincha.
Tasodifiy miqdor qabul qila oladigan qiymatlarining o’zining matematik
kutilmasi atrofida qanchalik sochilganini baholash uning dispersiyasi va o’rtacha
kvadratik chetlanishi
xizmat qiladi.
Dispersiya.
X
tasodifiy miqdorning dispersiyasi
deb uning matematik
kutilmasidan chetlanishi kvadratining matematik kutilmasiga aytiladi.
2
2
2
MX
MX
MX
X
M
DX
Diskret tasodifiy miqdor uchun
1
1
2
2
2
k
k
k
k
k
k
MX
p
x
p
MX
x
DX
Dispersiyaning xossalari:
1.
0
DC
;
2.
DX
C
CX
D
2
;
3.
DY
DX
Y
X
D
O’rtacha kvadratik chetlanish.
X
tasodifiy miqdorning
o’rtacha kvadratik
chetlanishi
deb dispersiyadan olingan kvadratik ildizga aytiladi.
DX
X
.
X
tasodifiy miqdorning modasi deb, tasodifiy miqdorning eng ehtimolliroq
qiymatiga, ya’ni eng katta ehtimollik
i
i
p
p
max
ga mos kelgan
x
qiymatiga
aytiladi.
Namunaviy misollar yechish
1-Misol.
Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan
X
tasodifiy miqdorning
DX
MX
,
va
X
sonli xarakterisikalari topilsin.
X
1
2
3
4
5
P
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Yechish.
1
,
3
1
,
0
5
3
,
0
4
3
,
0
3
2
,
0
2
1
,
0
1
MX
9
,
10
1
,
0
5
3
,
0
4
3
,
0
3
2
,
0
2
1
,
0
1
2
2
2
2
2
MX
;
29
,
1
1
,
3
9
,
10
)
(
2
2
2
MX
MX
DX
1357
,
1
29
,
1
DX
X
.
2-Misol.
;
5
MX
7
DX
;
3
4
X
Z
;
?
)
(
?;
X
D
Z
M
Yechish.
23
3
5
4
3
4
)
3
(
4
3
4
MX
M
X
M
X
M
112
7
16
0
4
)
3
4
(
2
DX
X
D
.
3-Misol.
Quyidagi taqsimot qonuni bilan bеrilgan X diskrеt tasodifiy miqdorning
matеmatik kutilishini toping.
X
-0.4
6
10
P
0,2
0,3
0,5
Yechish.
M(X)
=-0,4
.
0,2+6
.
0,3+10,0,5=6
4-Misol.
Yashikda 5 ta oq va 25 ta qora shar bor. Yashikdan tavakkaliga 1 ta shar
olingan.
X
tasodifiy miqdor olingan oq sharlar soni bo’lsa, uning taqsimot qonunini
tuzing va matеmatik kutilishini hisoblang.
Yechish.
Bitta shar olinsa, bu shar qora yoki oq bo’lishi mumkin. Dеmak, X
tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari 0 yoki 1. U holda, uning taqsimot
qonuni quyidagicha:
X
0
1
P
5/6
1/6
U holda ta’rifga ko’ra:
M(X)=
0
6
1
6
1
1
6
5
5-Misol.
X
diskrеt tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan bеrilgan:
X
0
1
2
3
4
P
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
M(X), D(X)
va
(X)
larni toping.
Yechish.
M(X)=0
.
0,2+1
.
0,4+2
.
0,3+3
.
0,08+4
.
0,02=1,32
X
2
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo’ladi:
X
2
0
1
4
9
16
P
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
M(X
2
)=
0
.
0,2+1
.
0,4+2
.
0,3+9
.
0,08+16
.
0,02=1,64
U holda:
D(X)=M(X
2
)-
2
)
(
X
M
=2,64-(1,32)
2
=2,64-1,7424=1,8976
3775
.
1
8976
.
1
)
(
)
(
X
D
X
6-Misol.
X va Y tasodifiy miqdorlar erkli. Agar D(X)=5, D(Y) =6 ekanligi ma’lum
bo’lsa, Z=3X+2Y tasodifiy miqdorning dispеrsiyasini toping.
Yechish.
D(Z)=D(3X+2Y)=D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y)=
9
.
5+4
.
6=69
Mustahkamlash uchun misollar
1.
Kompaniya bitta aksiyasini 16 shartli pul birligi narxida sotmoqda. Investor
aksiyalar paketini sotib olib, ularni 1 yil davomida saqlamoqchi.
X
bitta aksiyaning
1 yildan keyingi narxini bildiruvchi tasodifiy miqdor.
X
ning taqsimot qonuni
quyidagicha:
X
16
17
18
19
20
P
0,35
0,25
0,25
0,1
0,05
a) Berilgan qatorning taqsimot qonuni barcha xossalariga ega ekanini ko’rsating.
b) 1 yildan so’ng aksiyaning kutilayotgan o’rtacha qiymati nimaga teng?
d) 1 yildan so’ng aksiyadan kutilayotgan o’rtacha yutuq nimaga teng?
e) 1 yildan so’ng
?
DX
2.
bo’lganda
?
MX
3.
?
;
4
3
;
6
;
2
MZ
Y
X
Z
MY
MX
4.
?
;
3
2
;
5
;
4
DZ
Y
X
Z
DY
DX
5.
Matematik kutilishning xossalaridan foydalanib: a)
M(X-Y)= M(X)-M(Y)
tenglikni; b)
X-M(X)
chetlanishning matematik kutilishi nolga tengligini isbotlang.
6.
X
diskret tasodifiy miqdor uchta mumkin bo’lgan qiymatni qabul qiladi:
x
1
=4
ni
p
1
=0.5
ehtimol bilan,
x
2
=6
ni
p
2
=0.3
ehtimol bilan
x
3
ni
p
3
ehtimol bilan ,
M(X)= 8
ni bilgan holda
x
3
ni va
p
3
ni toping.
X
0.21
0.54
0.61
P
0,1
0,5
0,4
7.
X
diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining ro’yxati berilgan:
X
1
=-1, X
2
= 0, X
3
= 1
,
Shuningdek, bu miqdorning va uning kvadratining matematik kutilishlari ma`lum:
M(X)= 0.1, M(X
2
)= 0.9.
Mumkin bo’lgan
x
1
, x
2
va
x
3
qiymatlarga mos
p
1
, p
2
va
p
3
ehtimollarni toping.
8.
X
diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining ro’yxati berilgan:
X
1
= 1, X
2
=2, X
3
=3,
Shuningdek, bu miqdorning va uning kvadratining matematik kutilishlari ma`lum:
M(X)=2.3 M(X
2
)=5.9
X
ning mumkin bo’lgan qiymatlariga mos ehtimollarni toping.
9.
10 ta detaldan iborat partiyada 3 ta nostandart detal bor. Tavakkaliga 2 ta detal
olingan.
X
diskret tasodifiy miqdor – olingan 2 ta detal orasidagi nostandart detallar
sonining matematik kutilishini toping.
10.
Ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan X diskret tasodifiy miqdorning
dispersiyasini va o’rtacha kvadratik chetlanishni toping:
a)
b)
11
. X diskret
tasodifiy miqdor
ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:
a)
b)
taqsimot ko’pburchagini yasang.
12.
Ushbu
X
4.3
5.1
10.6
P
0,2
0,3
0,5
X
131
140
160
180
P
0,05
0,1
0,25
0.6
X
2
4
5
6
P
0,3
0,1
0,2
0.6
X
10
15
20
P
0,1
0,7
0,2
X
-5
2
3
4
P
0,4
0,3
0,1
0.2
taqsimot qonuni bilan bеrilgan
X
diskrеt tasodifiy miqdorning dispеrsiyasini va
o’rtacha kvadratik chеtlanishini toping.
4.3. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari
Barcha
OX
sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi
X
uzluksiz tasodifiy
miqdorning
matematik kutilmasi
dx
x
xf
MX
bilan aniqlanadi.
Matematik kutilmaning xossalari:
1.
;
C
MC
2.
MX
C
CX
M
3.
MX
MX
Y
X
M
;
Agar
X
Y
barcha
OX
sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi
X
tasodifiy
argumentning funksiyasi bo’lsa, u holda
dx
x
f
x
X
M
.
Agar
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan barcha qiymatlari (
a;b
)
oraliqqa tegishli bo’lsa, u holda
dx
x
xf
X
M
b
a
)
(
Butun
OX
sonlar o’qida qiymatlar qabul qiluvchi
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning
dispersiyasi
dx
x
f
MX
x
DX
2
kabi aniqlanadi.
X
uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasining xossalari
Do'stlaringiz bilan baham: |
