1-mavzu: fanning predmeti, maqsadi va vazifalari

Nochiziqli hususiy xosilali tenglamalar yechimlari haqida ayrim ma’lumotlar. d ta erkli o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan haqiqiy funksiya uchun hususiy hosilali differensial tenglama berilgan bo`lsin
(7.1)
bunda – ochiq to`plamda o`zgaruvchi, o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan haqiqiy funksiya. (7.1) Tenglama yechimi - bu sinfning funksiyasi bo`lib, u ochiq y-to`plamda aniqlanadi va nuqtalar da ga tegishli bo`lib, (7.1) ni y ga nisbatan ayniyatga aylantiradi. Bu yerda funksiya gradiyentini bildiradi.
Umuman olganda, odatda, ba’zi S gipersirtda oldindan belgilangan qiymatlarni oladigan yechim izlanadi, ya’ni (7.1) Koshi masalasi yechimi topiladi. S gipersirtning y fazo bo`yicha qismi bo`lsin, ya’ni S nuqtalar to`plami
, (7.2)
bunda sinfning nuqtasi atrofida joylashadi va matritsa rangi ga teng. S da funksiya berilgan bo`lsin, yoki unga teng kuchli funksiya berilgan bo`lsin, bunda atrofida o`zgaradi. U holda boshlang`ich shart S sirtda yechimni ga almashtirishdan iborat bo`ladi, ya’ni
. (7.3)
Biz isbotlaydigan mavjudlik teoremalari faqat ga yaqin y uchun aniqlangan yechimlarni beradigan ma'noda lokal bo`ladi. Koshi va uning nomi bilan bog`liq bo`lgan harakteristik usuldan foydalaniladi. Bu usul yordamida masala oddiy differensial tenglamalar nazariyasi masalasiga keltiriladi. Birinchi darajali hususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi uchun bu usulning analogi yo`q.
Quyidagi belgilashlar kiritiladi: va . Nuqta belgisi 2 ta d o`lchamli vektorlarning oddiy skalyar ko`paytmasini anglatadi.
Qo'llaniladigan usul g`oyasini tushuntirish uchun quyidagi shaklga ega bo'lgan (7.1) hususiy hosilali chiziqli tenglamaning hususiy holi uchun evristik mulohazalar ko`rib chiqiladi
(7.4)
ya’ni, u dan bog`liq emas va quyidagicha izlanadi . Agar – (7.4) tenglama yechimi, – quyidagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi yechimi bo`lsa
, (7.5)
u holda (7.4) dan ekanligi ko`rinadi. (7.5) sistema yechimi (7.4) hususiy hosilali differensial tenglamaning harakteristikasi deyiladi.
Hech bir harakteristika S sirtga bog`liq bo`lmasin deb faraz qilinsin. (7.2) shaklda berilgan S uchun bu shart quyidagicha ifodalanishi mumkin:
(7.6)
Bunda – matritsani bildiradi, birinchi ustun o`lchamli Yakobi matritsasini tashkil etadi, so`nggi ustun vektordan iborat.
Bu holda S sirt harakteristik emas deyiladi.