1-Mavzu. Determinantlar va ularning hossalari n-tartibli determinant haqida tushuncha. Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi. Dars rejasi

2-§. Chiziqli tenglamalar sistemasi.

2.1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish. Kramer qoidasi.

Ikkinchi tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi

berilgan bo‘lsin. Agar birinchi tenglamani d ga, ikkinchi tenglamani -b ga ko’paytirib qo’shsak,

tenglama hosil bo’ladi. Bundan, kelib chiqadi.
Xuddi shu kabi, bo’lishini aniqlaymiz. Agar , , belgilashlar kiritsak, sistemaning yechimini , ko‘rinishda yozish mumkin. Bular Kramer formulalari deyiladi.
Misol. tenglamalar sistemasini Kramer usulida yeching.
Yechish. , , . Bularga ko’ra va Kramer formulalaridan x=-1, y=2 bo’ladi.
Uchinchi tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi

berilgan bo‘lsin. Agar birinchi tenglamani ning algebraik to’ldiruvchisi ga, ikkinchi tenglamani ning algebraik to’ldiruvchisi ga, uchinchi tenglamani ning algebraik to’ldiruvchisi ga ko’paytirib qo’shsak, y va z noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar nol bo’lib,

tenglama hosil bo’ladi. Bundan, kelib chiqadi. Agar
,
belgilash kiritsak, bo’ladi. Xuddi shu kabi, ustunlarning mos algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shib,
va
belgilashlar kirib, sistemaning qolgan yechimlarini , kabi yozamiz. Bular Kramer formulalari deyiladi.
Misol. Ushbu sistemani Kramer usulida yeching.
Yechish. ,
,
.
Endi, umumiy holda, ushbu

ko‘rinishdagi, n ta noma’lumli, n ta tenglamadan iborat, chiziqli tenglamalar sistemasi deb ataluvchi sistemasini yechamiz. Bu yerda n ta tenglama va ta noma’lumlar, ya’ni lar bo‘lib, – noma’lumlar oldidagi koeffitsientlar, ya’ni – tenglamada -noma’lum oldidagi koeffitsient va sonlar berilgan bo‘lib, ular ozod hadlar deyiladi. Masala keltirilgan tengliklarni qanoatlantiruvchi larni topishdan iborat. Buning uchun
; ;
; …;
belgilashlar kiritib, deb hisoblaymiz.
Endi sistemaning 1-tenglamasini songa, 2-tenglamasini songa, 3-tenglamasini songa va hokazo, oxirgi tenglamasini songa ko‘paytirib, barcha tengliklarni qo‘shib chiqamiz. Natijada
.
Determinantning xossalariga ko‘ra va , hamda . Demak, , bundan esa kelib chiqadi.
Shuningdek, tenglikni keltirib chiqaramiz . Hosil bo‘lgan:
, , …,
formulalar Kramer formulalalri deyiladi.
Shunday qilib, holda Kramer formulalari sistemaning yechimini ifodalaydi.
Agar , ammo sonlardan birortasi noldan farqli bo‘lsa, sistemaning yechimi yo‘q, ya’ni chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda emas.
Nihoyat, bo’lgan holda tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, sistema boshqa usulda, parametr kiritish usuli bilan yechiladi.