1-Mavzu: Chiziqli algebra elementlari

4-misol.
Tenglamalar sistemasini Gauss usulida eching:
.
Yechish. Gauss usuli berilgan tenglamalar sistemadagi noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishdan iboratdir. Bu usulni qo‘llash oson bo‘lishi uchun 1-chi va 2-chi tenglamalarning o‘rnini almashtiramiz.
.
Endi 2-chi va 3-chi tenglamalardan x ni yo‘qotamiz. Buning uchun birinchi tenglamani 3 ga ko‘paytirib, ikkinchi tenglamadan, 2 ga ko‘paytirib, 3-chi tenglamadan ayiramiz va quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
2-chi tenglamaga 3-chi tenglamani qo‘shib, 3-chi tenglamadan z ni yo‘qotamiz:
.
Oxirgi tenglamadan ekanligi kelib chiqadi. Bu qiymatni 2-chi tenglamaga qo‘yib z ni aniqlaymiz. Topilgan y va z ni 1-chi tenglamaga qo‘yib topamiz. z = 3, x = 1.
SHunday qilib, x = 1, u = 0, z = 3.
Matritsaning rangi va uni hisoblash

To‘g‘ri burchakli A matritsa berilgan bo‘lsin. Bu matritsaning k ta satr

va k ta ustunini ajratib olsak, hosil bo‘lgan k- tartibli matritsaning
determinantiga A matritsaning k- tartibli minori deb ataladi. A
matritsaning turli tartibli minorlari orasida nolga teng bo‘lganlari ham
noldan farqli bo‘lganlari ham mavjud bo‘lishi mumkin.
Ta’rif. Agar A matritsaning k- tartibli minorlari orasida noldan
farqlisi bo‘lib, undan yuqori tartibdagi barcha minorlari nolga teng bo‘lsa,
bu matritsaning rangi k ga teng deyiladi va rangA=k kabi belgilanadi.
Matritsaning rangini ta’rif bo‘yicha topish ancha noqulay bo‘lib, biz
qulayroq bo‘lgan usulni keltiramiz.
Matritsa ustidagi quyidagi almashtirishlar elementar
almashtirishlar deb ataladi:
a) Faqat nollardan iborat satr yoki ustunni o‘chirish;
b) Ikkita satrning (ustunning) o‘rnini almashtirish;
v) Ixtiyoriy satr (ustun) elementlarini biror songa ko‘paytirib
boshqasiga qo‘shish;
g) Satr (ustun)ning barcha elementlarini noldan farqli songa
ko‘paytirish.
Bir- biridan faqat elementar almashtirishlar bilan farqlanuvchi
matritsalar o‘zaro ekvivalent deyiladi.