1-ma’ruza kompleks sonlar va ular ustida amallar

4-misol. ni ga algebraik shakilda bo‘ling.

Yechish. 1)

8. 
   Darajaga ko‘tarish.
   

Ko‘paytirish qoidasidan darajaga ko‘tarish qoidasi kelib chiqali.

uchun natural n da

_{ekani kelib chiqadi. Bu formula Muavr formulasi deyiladi. Bu formula kompleks sonni natural darajaga ko‘tarishda modul shu darajaga ko‘tarilishi, argument esa daraja ko‘rsatkichiga ko‘paytirilishi kerakligini ko‘rsatadi.}

5-misol. Mavhum birlik ning natural darajasi uchun formula toping.

Yechish.

Umuman,

6-misol. ni hisoblang.

Yechish.

8. 
   Илдиздан чиқариш.
   

_Bu amal darajaga ko‘tarish amaliga teskari amaldir. Kompleks sonning darajali ildizi deb shunday songa aytiladiki, bu sonning darajasi ildiz ostidagi songa tengdir, ya’ni agar bo‘lsa,

Agar va bo‘lsa, u holda:

.

Muavr formulasiga binoan:

.

Bundan va ni topamiz:

Bunda k - istalgan butun son, -arifmetik ildiz. Demak,

_.

ga qiymatlar berib, ildizning ta har xil qiymatiga ega bo‘lamiz, bu qiymatlarning modullari bir xil. da ildizning topilgan qiymatlari bilan bir xil bo‘lgan qiymatlar hosil bo‘ladi. ta ildizning hammasi markazi koordinatalar boshida bo‘lib, radiusi ga teng aylana ichiga chizilgan muntazam tomonli ko‘pburchak uchlarida yotadi.

8. 
   Ko‘rsatkichi kompleks bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiya. Eyler formulasi, uning qo‘llanishi.
   

Ta’rif. Agar kompleks o‘zgaruvchi ning biror kompleks qiymatlar sohasidagi har bir qiymatga boshqa W kompleks miqdorning aniq qiymati mos kelsa, u holda W kompleks o‘zgaruvchi ning funksiyasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi.

Biz kompleks o‘zgaruvchining bitta funksiyasini-ko‘rsatkichli funksiyani qaraymiz:

yoki ,

bu funksiya bunday aniqlanadi:

Agar bu formulada desak, u holda

Bu formula mavhum ko‘rsatkichli darajali funksiyani trigonometrik funksiyalar orqali ifodalovchi Eyler formulasidir.

Kompleks sonni trigonometrik shaklda ifodalaymiz:

Eyler formulasi bo‘yicha:

Shunday qilib, har qanday kompleks sonni ko‘rsatkichli shaklda ifodalash mumkin:

Misol. sonlarni ko‘rsatkichli shaklda ifodalang.

Yechish. 1) Agar bo‘lsa, bo‘ladi, shu sababli

2) shu sababli:

3) shu sababli:

Ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish amallari ko‘rsatkichli shaklda oson bajariladi.

bo‘lsin. U holda:

Bu formulalar shu amallarning o‘zi uchun trigonometrik shaklda chiqarilgan formulalar bilan bir xil.