1-Ma’ruza Kompleks sonlar. Aniqmas integral. Integrallar jadvali. Aniqmas integralning xossalari va hisoblash usullari. Ratsional
Download 0,53 Mb. Pdf ko'rish
|
1-maruza
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ratsional kasrlar. Eng sodda kasr funksiyalar va ularni integrallash.
|
(12) tenglikning to‘g‘ri ekanligiga, uning ikkala tomonini x bo‘yicha differensiallab ishonch hosil qilish mumkin. Ma’lumki, chap tomon uchun ∫
O‘ng tomon uchun bo‘yicha hosila olishda ni oraliq o‘zgaruvchi sifatida qaraymiz va
,
ekanligini e’tiborga olamiz (∫ ( )
)
(∫ ( ) )
( )
( ) SHunday qilib (12) tenglikning o‘ng va chap tomonlaridan x bo‘yicha olingan hosilalar teng ekan, ya’ni (12) tenglik to‘g‘riligi isbot bo‘ldi.
almashtirishni kabi emas, balki kabi olish qulay bo‘ladi. Quyida aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirishga doir bir necha misol keltiramiz. 6-Misol. ∫ √ ni hisoblang. ► √ almashtirish kiritamiz, u holda,
Natijada, ∫ √ ∫
∫
◄ 7-Misol. ∫ √ ni hisoblang.
almashtirish bajaramiz, u holda
Demak, ∫ √ ∫ √ ∫
⁄ ◄ 8
8-Misol. ∫ √
hisoblansin. ►Bu yerda, almashtirishdan foydalanamiz.
ga ko‘ra, quyidagini yoza olamiz: ∫ √
∫ √
∫
∫
Agar
va √
√
ekanligini inobatga olsak, natijada, ∫ √
√
√
◄ Ratsional kasrlar. Eng sodda kasr funksiyalar va ularni integrallash. Har qanday funksiyani ham integrallaganda elementar funksiyalar yordamida ifodalab bo‘lmaydi. Bunga ko‘plab misollar keltirishimiz mumkin. SHuning uchun integrallari elementar funksiyalar yordamida ifodalanuvchi funksiyalar sinflarini ajratish muhimdir. Integrallari etarlicha sodda amallar ketma- ketligi yordamida topiluvchi funksiyalar sinfiga ratsional funksiyalar kiradi. Ma’lumki, har qanday ratsional funksiya ikkita va ko‘phadlarning nisbati sifatida qaralishi mumkin
Aytaylik, suratdagi ko‘phadning darajasi maxrajdagi ko‘phad darajasi dan katta yoki teng bo‘lsin. Agar ko‘phadni ga bo‘lsak, bo‘linmada biror ko‘phad, qoldiqda esa darajasi dan katta bo‘lmagan
ko‘phad hosil bo‘ladi. Demak, berilgan kasrni quyidagicha yozish mumkin
Biz ko‘phadni integrallashni bilganimiz tufayli, ixtiyoriy ratsional kasrni integrallash suratining darajasi maxraj darajasidan past bo‘lgan kasrni integrallashga keltirilar ekan. SHuning uchun bundan keyin ratsional kasr haqida gapirganimizda har doim deb faraz qilamiz. Bunday kasrlar to‘g‘ri kasr deb ataladi. Noto‘g‘ri kasrning butun qismini ajratib olishga quyidagi misolni ko‘rishimiz mumkin
Avvalo to‘g‘ri kasrlarni integrallash jarayonida muhim bo‘lgan quyidagi eng sodda kasr funksiyalar deb ataluvchi to‘rt turdagi funksiyalarni qaraylik 9
(13)
(14)
(15)
(16) Bu erda a,b,c,A,B lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo‘lib, m, n (m 2, n 2) natural sonlardir. SHuningdek, (15) va (16) xildagi kasr funksiyalari maxrajidagi kvadrat uchhadda
deb faraz qilinadi. YUqorida qaralayotgan (13) va (14) xildagi kasr funksiyalarni integrallash bevosita jadval integraliga keltiriladi. ∫
∫
| |
∫
∫
∫
(15) va (16) xildagi kasr funksiyalarni integrallash uchun ularning maxrajidagi kvadrat uchhaddan to‘la kvadrat ajratish usulini qo‘llaymiz. ∫
∫
∫ (
)
∫
(
)
|
|
∫ ( (
) )
∫
∫
|
|
Oxirgi natijada yangi o‘zgaruvchidan o‘zgaruvchisiga o‘tilsa, (15) xildagi sodda kasr batamom integrallangan bo‘ladi. ∫
√
√
|
| (16) xildagi sodda kasrni integrallash biroz murakkab hisoblashlarni talab etadi va uni hisoblashda ham yuqoridagi tarzdagi amallar bajariladi. ∫
∫ (
)
∫
[(
)
]
∫
[(
)
]
|
|
∫ ( (
) )
10
∫
∫
∫
(17) (17) ifodadagi ∫
integralni
bilan belgilab olamiz va uni hisoblaymiz.
∫
∫
∫
∫
∫
|
|
*
∫
+ Oxirgi ifodani qayta guruhlab topsak
∫
(18) (18) dagi
∫
integralda yana yuqoridagi usulni qo‘llasak, natijada
∫
ga kelamiz. SHu yo‘sinda davom eta borib, oxirida
∫
ni hosil qilamiz. Bu esa jadval integralidir. SHunday qilib, barcha topilgan natijalarni o‘rinlariga qo‘yib, oxiri
ning qiymatini hisoblaymiz va u qiymatni keltirib (17) ga qo‘yamiz. U yerda o‘zgaruvchidan o‘zgaruvchiga o‘tilsa, 4- xildagi eng sodda kasr funksiya batamom integrallanadi. (16) integraldagi n ni ketma- ket pasaytirish jarayonini rekurrent formula deb yuritiladi. Eng sodda ratsional funksiyalarni integrallashga doir misollar qaraylik. 9-Misol. ∫
integralni hisoblang. ►Bu integral (7.15) turdagi bo‘lib, uni hisoblash qulay bo‘lishi uchun to‘la kvadrat ajratamiz ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(√ )
√
√
. ◄ 7.10-Misol. ∫
integralni hisoblang. ► ∫
∫
[
]
|
| ∫
∫
∫
. Oxirgi
ifodaning birinchi integralini bevosita hisoblash mumkin, ikkinchisini hisoblash uchun (18) formulani da qo‘llaymiz. 11
∫
∫
∫
√
√
√
√
Dastlabki o‘zgaruvchi ga qaytib oxirgi natijani hosil qilamiz ∫
√
√ ◄
Download 0,53 Mb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish