Anikmas integral jadvali.
Quyida biz asosiy elementar funksiyalar aniqmas integrallarining jadvalini
keltiramiz. Jadvaldagi har bir formulaning to‘g‘riligini differensiallash yo‘li bilan
tekshiriladi.
1.
∫
2.
∫
| |
3.
∫
4.
∫
5.
∫
6.
∫
7.
∫
8.
∫
9.
∫ | |
10.
∫ | |
11.
∫
12.
∫
13.
∫
√
14.
∫
√
15.
∫
|
|
16.
∫
√
| √
|
17.
∫
Eslatma. Bu jadvalga qo‘shimcha ravishda giperbolik funksiyalarning
integrallarni ham qo‘shishimiz mumkin. Keltirilgan integrallar jadvalidagi 9, 10, 15, 16,
17 formulalarga mos keluvchi formulalar hosilalar jadvalida yo‘q. 17- formulani quyida
keltiriladigan bo‘laklab integrallash usuli yordamida chiqaramiz. Qolganlarini esa
bevosita differensiallash yordamida isbotlash mumkin. Masalan, 16 formulani
tekshiraylik:
* | √
|+
√
(
√
)
√
Demak 16 formula o‘rinli. Qolgan formulalarni ham xuddi shu kabi teshirishimiz
mumkin.
4
Aniqmas integralni hisoblashning qoidalari
2-Teorema. O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisidan chiqarib yozish
mumkin, ya’ni agar
bo‘lsa, u holda
∫ ∫ (6)
bo‘ladi.
◄Isbot. Bu tenglikning ikkala tomonini differensiallasak,
∫ , ∫
∫
.
Demak, berilgan tenglikning chap va o‘ng tomonidagi funksiyalar bir- biridan
o‘zgarmas songa farq qiladi. Aniqmas integrallar o‘zgarmas son ma’nosida teng
bo‘lganligi uchun, teorema isbot bo‘ldi. ►
3-Teorema. CHekli dona funksiyalar algebraik yig‘indisining integrali
qo‘shiluvchilar integrallarining algebraik yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya’ni: ∫[
] ∫
∫
∫
(7)
◄ Isbot.Tenglikning ikkala tomonini differensiallab topsak
[∫[
] ]
[∫
∫
∫
]
YUqoridagi xossadagi kabi (7) tenglikning ikki tomoni o‘zgarmas ma’nosida o‘zaro
teng bo‘lganligi uchun teorema o‘rinli. ►
4-Teorema. Agar (2) tenglik o‘rinli bo‘lsa, har doim quyidagilarni yozish
mumkin:
∫ (8)
∫
(9)
∫
(10)
◄Isbot. Biz umumiy bo‘lgan oxirgi holni isbotlaymiz. Buning uchun (10)
tenglikning chap va o‘ng tomonlarini differensiallaymiz
[∫ ] ,
*
+
( )
CHap va o‘ng tomon hosilalari teng, shuning uchun (10) tenglik o‘rinli bo‘ladi.►
YUqoridagi teoremalar qo‘llanishiga doir misollar qaraylik.
1-Misol.
∫ (
√
) integralni hisoblang.
►∫ (
√
) ∫ (
)
◄
2-Misol.
∫
√
integralni hisoblang.
►Integral ostidagi ifodani shakl almashtirsak
5
∫
√
∫
Darajali funksiyaning integrali va (7.10) formulaga ko‘ra
∫
√
◄
Bo‘laklab integrallash va o‘zgaruvchini almashtirish usuli.
Integrallash
amali
–
differensiallashga
teskari
bo‘lganligi
uchun,
differensiallashda qo‘llaniladigan ko‘pchilik usullarni aniqmas integralni hisoblashga
ham o‘tkazish mumkin. Masalan yig‘indidan bu amallar bir xil hisoblanadi yoki
o‘zgarmas ko‘paytuvchini ikkala amaldan ham tashqariga chiqarish mumkin.
Bo‘laklab integrallash usuli.
Bu usul ko‘paytmaning differensiali formulasidan kelib chiqadi.
va
funksiyalar
bo‘yicha differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu holda
yoki
Oxirgi tenglikni integrallab topsak
∫ ∫ ∫
yoki
∫ ∫ (11)
Hosil bo‘lgan tenglikka bo‘laklab integrallash formulasi deb ataladi.
Mazkur formuladan foydalanishda aniqmas integral ostidagi ifodani shunday
bo‘laklarga ajratish lozimki, natijada tenglikning o‘ng tomonidagi integral dastlabkisiga
qaraganda sodda integralga keladigan bo‘lsin. Ushbu formulaning qo‘llanilishiga doir
bir necha misol qaraylik.
3-Misol.
∫
ni hisoblang.
►
sifatida ni, ni
deb olsak, va
bo‘ladi. Demak,
∫
|
|
∫
◄
Ko‘rib turibmizki bir marta bo‘laklash formulasi qo‘llanilganidan so‘ng jadval
integraliga keldik.
4-Misol.
∫ ni hisoblang.
6
►∫ ||
|| ∫
∫ ◄
,
,
,
,
,
,
kabi hamda ularga o‘xshash funksiyalar bo‘laklab integrallash usuli yordamida
integrallanadi.
qatnashgan hollarda (
natural son) nechaga teng bo‘lsa shuncha
marta bo‘laklab integralashga to‘g‘ri keladi.
5-Misol.
∫
integralni hisoblang.
►∫
|
|
∫
|
|
∫
◄
∫
va
∫
kabi integrallarni hisoblashda
integral ostidagi ifoda
, yoki kabi bo‘laklariga
ajratiladi. Bo‘laklab integrallash formulasi bir marta qo‘llanilganda yana yuqoridagi
integrallarga o‘xshash integrallar hosil bo‘ladi. U yerda yana bir marta bo‘laklab
integrallash usulini qo‘llaniladi. Natijada yana dastlabki integralga o‘xshash integral
hosil bo‘ladiki, uni chap tomonga o‘tkazib dastlabki integral hisoblanadi.
►∫
||
||
∫
||
||
*
∫
+
SHunday qilib
∫
*
∫
+
Oxirgi tenglikdan izlanayotgan integralni topamiz
∫
◄
Do'stlaringiz bilan baham: |