1-ma’ruza. Determinantlar va ularni hisoblash. Reja: Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar

n-tartibli determinantlar. Determinantning asosiy xossalari.

n-tartibli determinant

ko’rinishdagi simvolga n-tartibli determinant deyiladi. Bu yerda ham yo’l, ustun, element va diagonal tushunchalari o’z kuchlarini saqlab qoladi.

n-tartibli determinant ham biror aniq sonni ifodalaydi. Yuqori tartibli determinantlarni hisoblashni quyida keltirilgan xossalardan kelib chiqib ko’ramiz.

Determinantning xossalari.

1-xossa. Agar determinantning yo’llarini mos ustunlari bilan almashtirish determinantning qiymati o’zgartirmaydi.

2-xossa. Determinantning ixtiyoriy ikkita yo’lini (yoki ustunini) o’zaro almashtirilsa, determinant qiymati o’z ishorasini o’zgartiradi.

3-xossa. Determinantning biror yo’lining (yoki ustunining) barcha elementlari nol bo’lsa, determinantning qiymati nol bo’ladi.

4-xossa. Ixtiyoriy ikkita yo’li yoki ikkita ustuni bir xil bo’lgan determinant qiymati nol bo’ladi.

5-xossa. Istalgan yo’l (yoki ustun) ning umumiy elementini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

6-xossa. Determinantning biror yo’l (yoki ustun) elemenlariga boshqa yo’l (yoki ustunining) elementlarini biror songa ko’paytirib qo’shganda determinantning qiymati o’zgarmaydi.

7-xossa. Agar determinantning biror i-yo’lida (yoki j-ustunida) a_ij elementdan boshqa hamma elementlari nol bo’lsa, u holda bu determinant shu element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytmasiga teng bo’ladi.

= a_ij Aij = (-1)^i+ja_ij M_ij .

8-xossa. Har qanday determinant, biror yo’li (yoki ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’ladi.

= a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+ a₂₃A₂₃ yoki a₁₁A₁₁₊a₂₁A₂₁+ a₃₁A_31.

Determinantning 8-xossasidan foydalanib istalgan tartibli determinantni hisoblash mumkin.

Misol.

=(-5)·(-1)¹⁺¹ +1(-1)¹⁺² +

+(-4)(-1)¹⁺³ +1(-1)¹⁺⁴ = -264 .

9-xossa. Determinantning biror yo’li (yoki ustuni) elementlarining boshqa yo’li (yoki ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi nol bo’ladi.

Masalan. Ikkinchi ustun elementlarini birinchi ustun elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirsak a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+ a₃₂A₃₁=0 bo’ladi.

Mavzu yuzasidan savollar:

1. 
   Ikkinchi tartibli determinant deb nimaga aytiladi va u qanday hisoblanadi?
   
2. 
   Uchinchi tartibli determinant deb nimaga aytiladi va u qanday hisoblanadi?
   
3. 
   Minor deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Algebraik to’ldiruvchi deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   Determinant xossalari?
   
6. 
   n-tartibli determinanat va ularni hisoblash usullari?