1. Maple Ifoda va ularning turlari

Chiziqli differensial tenglamalar.
Maple tizimida, DEtools paketining subsetini ishlatgan holatda differensial
operatorlar bilan ishlash mumkin. Differensial operatorlar bu holda ko'phad obyektlar
bo'lib quyidagi shaklga ega bo'ladi:

+ . . . +
koeffisiyentlari soha ustidagi ratsional funksiya hisoblanadi. Bu yerda
va	. kabi xossalarni qonotlantiradigan

obyekt hisoblanadi . Bu operatorlar ustida ko'paytirish, simmetrik ko'paytmalar hosil
qilish, bir tomonli eng katta umumiy bo'luvchilarni topish, ko'paytuvchilarga ajratish,
va boshqa funksiyalarni bajarish mumkin.
Mark van Xoyeyjga (Nijmegen Universiteti) xos bu funksiya chiziqli differensial
tenglamalarning yopiq shakldagi natijalarini topishda kelajakdagi rivojlanishlarga
imkon yaratadi. Quyida DEtools ning subpaketidagi amaliyotlar keltirilgan.
DEtools paketida biz with komandasidan komandalarning qisqa shaklini ishlatishga
imkon yaratishi uchun foydalanamiz.
> restart;
> with(DEtools):
Differensial operatorlar bilan algebraik amallar bajarish.
L := a ( )
n
x DF
(n)
a1(x) DFa0(x)
ai(x) D
DF(x)1 DF(u v)u DF(v)DF(u) v
Differensial operatorlarni qo'shish, ko'paytirish, o'rniga qo'yish va boshqalarga
o'xshash o'rin almashtirib bo'lmaydi (noncommutative domain) . C(x)[DF]dagi L
differensial operatori bu + . . . + , bo'lib , bu yerda
C(x)ning elementlari. C(x)[Dx] dagi L elementi L( y(x) )=0 chiziqli bir xil
differensial tenglamaga to'g'ri keladi.
C(x)[Dx] doirasida ko'paytirish differensial operatorlarni shakllantirishga to'g'ri
keladi. Shunday qilib agar L = mult(f,g) bo'lsa, u holda L( y(x) ) = f(g( y(x) )).
Xususan, mult(DF,x) = x*DF + 1.
Misol tariqasida qanday algebraik amallarni bajarish mumkinligini ko'rish uchun
quyidagi differensial operatorlarga e'tibor bering:
> L1 := x^2*DF^2 - x*DF + (a-x^2);
> L2 := x*DF - (x^2-b);
> L3 := DF^2 - x;
Biz bu operatorlari ko'paytirib shuni eslatib o'tishimiz mumkinki, ularni o'rnini
almashtirib bo'lmaydi:
> L4 := collect( mult( L1, L2, [DF, x] ), DF );
> L5 := collect( mult( L2, L1, [DF, x] ), DF );
Argument [DF, x] mult komandasiga ko'paytirish DF va x belgilab bergan
differensial sohasi ustida ekanligini ko'rsatadi, shuning uchun a va b o'zgaruvchilari
o'zgarmas songa teng. Bu yana _Envdiffopdomain := [DF, x], muhit o'zrgaruvchisi
orqali belgilanishi mumkin.
Bir tomonli eng kichik umumiy ko'paytuvchi va eng katta umumiy bo'luvchi
tushunchasi shunday sohalarda mavjud bo'ladi. Misol tariqasida,
> L6 := LCLM( L3, L2, [DF, x] );
L := a ( )
n
x DF
(n)
a1(x) DFa0(x)
ai(x)
L1 := x2 DF2x DFax2
L2 := x DFx2b
L3 := DF2x
L4 := x3 DF3(x4x2x2 b) DF2(a xx bx4 x3) DFa x2x4x2 ba b
L5 :=
x3 DF3( x4x2x2 b) DF2( x bxa x) DFa bx42 x2a x2x2 b
va
> L7 := GCRD( L4, L6, [DF, x] );
Buni o'ng yoki chap tomonni ko'paytirishi orqali tekshirish mumkin. Bizning
masalamizda biz quyidagiga egamiz:
> rightdivision(L6,L7, [DF,x] );
> rightdivision(L4,L7, [DF,x] );
Ikki holatda ham yuqoridagi amal 0 qoldiqli bo'linmani beradi. Hisobni to'g'riligi
quyidagi ko'paytirish orqali tekshirish mumkin:
> collect( L4 - mult( %[1], L7, [DF,x] ), DF, normal );