1 Idéal gazda Maksvell muvozanat va lokal muvozanat taqsimoti 2

Reja
1

• Idéal gazda Maksvell muvozanat va lokal muvozanat taqsimoti

2

• Gidrodinamika tenglamasi.

29-mavzu. TO’QNASHISHLAR SONI. GIDRODINAMIKA TENGLAMALARI
Biz entropiyaning o‘sish qonuni oldik:
da entropiya o‘sib borib qandaydir o'zgarmas kattalikka intiladi, ya’ni
da emas, balki relaksatsiya vaqti τ da S—>Smax.
Shu vaqtda
shart bajariladi. (1)
1. Idéal gazda Maksvell muvozanat va lokal muvozanat taqsimoti
Bundan f2f3 = ffl yoki lnf2+lnf3=lnf +lnf1 bo‘lishi kerak. Bu esa lnf harakatning additiv integrali ekanligini ko‘rsatadi.
Ikkita zarra to‘qnashishida beshta harakat additiv integrali mavjud bo'ladi: massa, impuls va energiya integrallari.
Shuning uchun, lnf ana shu kattaliklarning chiziqli funksiyasi
bo'lishi kerak:
(2)
bu yerda a, bi, c - o‘zgarmas kattaliklar bo‘lib, birlik hajmdagi zarralar soni «n», o'rtacha makroskopik tezlik «ui> va muvozanat holatdagi bir atomli gaz o'rtacha energiyasi orqali ifodalanadi. Agar gaz bir butun holda tinch turgan bo‘lsa va ui=0 bo‘lsa, u holda
(3)
Bu tenglamalar asosida Maksvell muvozanat taqsimot funksiyasini topamiz:
(4)
Muvozanatdagi gazda temperatura T va zichlik n butun gaz hajmida o'zgarmas qiymatga ega bo'ladi va unda makroskopik harakat yuzaga kelmaydi. Agarda temperatura va zichlik koordinata va vaqtga bog‘liq bo'lsa va gaz o‘rtacha ui tezlik bilan
harakatlansa, u holda Bolsman tenglamasidagi to'qnashish integrali nolga aylanadi, agarda taqsimot funksiyasi o‘rniga quyidagi ifodani olsak:
(5)
bu yerda n va T - koordinata va vaqtning funksiyasi.
Taqsimot funksiyasini quyidagi ko'rinishda yozamiz:
(6)
Agarda taqsimot funksiyasi f(0) Bolsman tenglamasining o‘ng va chap tomonlarini nolga aylantirsa, u holda Bolsman tenglamasining yechimi bo‘la oladi.
Buning uchun ,β, quyidagi shartlarni qanoatlantirish kerak. Odatda, (5) va (6) Maksvell-Bolsman lokal taqsimoti deb yuritiladi. (6) taqsimotni Bolsman tenglamasining chap tomoniga qo'yamiz:
(7)
vi ning bir xil darajalaridagi koeffitsiyentlarni teijglashtirish natijasida quyidagi ifodalarni olamiz:
(8)
(9)
(10)
(11)
Shunday qilib, (8)-(11) tenglamalar sistemasi Maksvell-Bolsman taqsimotiga mos bo'lgan harakatning o'rtacha tezligi ui ga chegaralanish yuklanadi:
(12)
tenglama temperatura T butun fazoda o‘zgarmas bo'lishligini
ko‘rsatadi.
Ammo gaz temperaturasi vaqt bo‘yicha o ‘zgarishi mumkin. (10) ni koordinita bo‘yicha differensiallaymiz:
(13)
Bundan
(14)
Yoki ga asosan asosan va i = j bo'lsa,
(15)
Bundan
(16)
ekanligi kelib chiqadi. (16) ning yechimini quyidagicha yozish mumkin:
(17)
bij koeffitsiyentni topish uchun (17) ni (10) ga qo‘yamiz va quyidagi ifodani olamiz:
Shunday qilib, gaz o‘rtacha tezligini quyidagicha topamiz:
Bu yerda - aylanma harakat burchak tezligi.
Agarda gaz idish ichiga qamalgan bo'lsa, u holda (17) dagi yechimda ui= 0 va βi= 0 deb olish kerak. U holda (10) quyidagi ko'rinishini oladi:
Agarda tashqi kuch potensialga ega bo'lsa, u holda
bo‘ladi.
Bu holda Maksvell-Bolsman muvozanat taqsimoti quyidagi ko'rinishni oladi:
Bu holda gazda Maksvell-Bolsman muvozanat taqsimoti tiklanar ekan. Relaksatsiya vaqti bo‘ladi.
Bu esa fazoda tezliklar taqsimotining tiklanishi bilan bog‘langaligini ko‘rsatadi.